El más pequeño del grupo simétrico $S_m$ en que un determinado grupo diedro $D_{2n}$ incrusta

Question

Varias preguntas, tanto aquí y en MathOverflow, abordar la cuestión de la determinación de un grupo dado, $G$ el entero más pequeño $\mu(G)$ para los que hay una incrustación de objetos (inyectiva homomorphism) $G \hookrightarrow S_{\mu(G)}$. En general este es un problema difícil, pero no es difícil resolver la cuestión de $G$ de la pequeña orden, y $\mu(G)$ se ha determinado para algunas clases importantes de los grupos de $G$. Por ejemplo, para $G$ abelian, de modo que podemos escribir $G$ de forma exclusiva (hasta el reordenamiento) como $\Bbb Z_{a_1} \times \cdots \times \Bbb Z_{a_r}$ (no trivial) primer potencias $a_1, \ldots, a_r$, $$\mu(G) = a_1 + \cdots + a_r .$$ And of course, $\mu(S_m) = m$.

No he sido capaz de encontrar, sin embargo, cuando esto ha sido resuelto por el diedro grupos; mi pregunta es:

Para cada grupo diedro $D_{2n}$ (de orden $2 n$), lo que es el más pequeño del grupo simétrico en el que $D_{2n}$ reproductores, es decir, ¿qué es $\mu_n := \mu(D_{2n})$?

Por supuesto, $D_2 \cong S_2$$D_6 \cong S_3$, y por lo $\mu_1 = 2$$\mu_3 = 3$; también, $D_4 \cong \Bbb Z_2 \times \Bbb Z_2$, por lo que por el resultado anterior $\mu_2 = \mu(D_4) = 4$.

Para cualquier grupo de $G$ y de los subgrupos $H \leq G$, una incrustación $G \hookrightarrow S_m$ determina una incrustación $H \hookrightarrow S_m$, y por lo $\mu(H) \leq \mu(G)$. Así, desde la $D_{2n} \cong \Bbb Z_n \rtimes \Bbb Z_2$,$\mu_n = \mu(D_{2n}) \geq \mu(\Bbb Z_n)$, que por la de arriba es la suma de $\Sigma_n$ de las principales potencias en la factorización prima de $n$. Por otro lado, para $n > 2$, la costumbre de acción por las rotaciones y reflexiones de $D_{2n}$ $n$- gon es fiel, y así lo determina una incrustación $D_{2n} \hookrightarrow S_n$; en particular, esto le da el límite superior $\mu_n \leq n$.

Ya, estos límites en conjunto dan $\mu_4 = 4$ (realizado por la incorporación del grupo de simetría de la plaza en el grupo simétrico en sus vértices) y, más generalmente, que $\mu_a = a$ para el primer potencias $a > 2$.

Esto no es suficiente, sin embargo, para determinar el $\mu_n$ para los demás enteros $> 5$; por ejemplo, $\mu(\Bbb Z_6) = 5$, por lo que estos límites sólo dar $5 \leq \mu_6 \leq 6$. Resulta que $D_{12}$ puede ser incrustado en $S_5$ (como señala David en un comentario bajo su pregunta, esta incrustación puede ser realizado de forma explícita como $\langle(12)(345), (12)(34)\rangle$), y esta se asienta $\mu_6 = 5$. Los resultados anteriores juntas determinan la subsequence $$(\mu_1, \ldots, \mu_9) = (2, 4, 3, 4, 5, 5, 7, 8, 9) ,$$, que en particular no aparece en la OEIS.

Edición Por David de la respuesta, la secuencia de $(\mu_n)$ parece estar dado por $$ \mu_n := \left\{\begin{array}{cl}2, & n = 1\\ 4, & n = 2\\ \Sigma_n, & n > 2 \end{array}\right. , $$ y $(\Sigma_n)$ sí aparece en la OEIS como secuencia A008475.

Answer 1

Si $n > 2$, $\mu_n$ es la suma de las principales potencias que aparecen en la descomposición de la $n$.

$D_{2n}$ es integrable en a $S_k$ si y sólo si sucede lo siguiente: (1) podemos encontrar un elemento $\sigma$ orden $n$$S_k$. (2) podemos encontrar un elemento $\tau$ orden $2$ $S_k$ tal que $\tau \sigma \tau^{-1} = \sigma^{-1}.$
(3) $\tau$ no es una potencia de $\sigma$. (Pero (3) se sigue de (2) si $n > 2$, ya que de lo contrario $\tau$ conmuta con $\sigma$, por lo que tendríamos $\sigma = \sigma^{-1}$.)

El orden de un elemento $\sigma$ es el mcm de su ciclo de longitudes. Dicen que la orden de $\sigma$$n$, e $\sigma$ se mueve como pocos elementos como sea posible. Claramente, ningún factor principal puede aparecer en la longitud de más de un ciclo de $\sigma$. (Si un factor de $p^a$ aparece en un ciclo de baja energía que en otro, simplemente divida la longitud de ciclo por $p^a$ para obtener un menor de permutación $\sigma$ sin cambiar el mcm de su ciclo de longitud.) También, cada ciclo debe tener una fuente primaria de energía para, por si un ciclo tuvo longitud de $ab$ $a$ $b$ relativamente primos (y $> 1$), podríamos sustituir el ciclo con dos ciclos de las respectivas longitudes $a$ $b$ para obtener un menor $\sigma$. Por consiguiente, lo mejor que podemos hacer es $\sigma$ con el ciclo de las longitudes de cada uno de los principales factores de potencia de $n$.

El único problema ahora es mostrar que $\tau$ puede ser elegido sin aumentar el $k$. Si uno de los ciclos en $\sigma$$(a_1, a_2, \dots, a_r)$, entonces vamos a $\tau(a_1) = a_r$, $\tau(a_2) = a_{r-1}$, ..., $\tau(a_r) = a_1$. Definir $\tau$ de esta forma en cada una de las órbitas de $\sigma$. A continuación, $\tau$ orden $2$$\tau \sigma \tau^{-1} = \sigma^{-1}$.