¿Qué significa que dos grupos sean isomorfos?

Question

No pido la definición formal, la conozco. Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo. En mi libro se indica muchas veces cuando dos grupos son isomorfos, y no entiendo cuál es la razón de ello. ¿Qué podemos "hacer" cuando sabemos que 2 grupos son isomorfos? ¿Qué significa realmente que 2 grupos son isomorfos?

Answer 1

Significa que son exactamente iguales excepto por los nombres de los elementos y el nombre de la operación binaria. Un isomorfismo entre grupos es una función que cambia el nombre de todos los elementos. (Por lo tanto, es biyectiva... cada elemento del primer grupo se renombra para ser exactamente un elemento del segundo grupo).

La razón por la que nos preocupamos es que si sólo te preocupa la estructura del grupo, entonces los nombres de los elementos o el símbolo que usas para la operación binaria no son terriblemente importantes. Por lo tanto, si sabes que dos grupos son isomorfos, todo lo relacionado con ellos, en el sentido de la teoría de grupos, es lo mismo. Esto es bueno, ya que si puedes demostrar que un grupo que encuentras es isomorfo a un grupo que ya conoces, entonces obtienes cualquier propiedad teórica de grupo de tu nuevo grupo de forma gratuita.

Answer 2

En términos generales, significa que no se pueden distinguir. Son lo mismo salvo que los elementos tienen nombres diferentes. Por ejemplo, el grupo $Z_2 = \{0,1\}$ con la regla obvia de la multiplicación es isomorfo al grupo {even, impar} con la regla habitual de la suma.

La confusión de @Dorabell (ver su comentario más abajo) fue culpa mía por llamar a la operación en $\{0,1\}$ "multiplicación". "Suma mod $2$ "habría sido mejor. Pero su ejemplo es instructivo en otro sentido. El conjunto $ \{1,-1\}$ con la multiplicación obvia también es isomorfo. Esto es interesante porque el homomorfismo biyectivo a $\{0,1\}$ mapas $1$ a $0$ y $-1$ a $1$ . No se puede saber qué " $1$ " significa sin el contexto.

Answer 3

Cuando decimos que dos grupos son isomorfos, estamos diciendo que tienen la misma estructura e invariantes como grupos. Un isomorfismo entre dos grupos hace algo más que igualar elementos: iguala subgrupos, subgrupos normales, subgrupos característicos, clases de conjugación, $p$ -subgrupos, grupos Frattini, ...

En otras palabras, dos grupos isomorfos pueden ser considerados como el mismo objeto en la categoría de todos los grupos. No sé si esto responde a tu pregunta.

Answer 4

Esto significa que, aunque los grupos contengan elementos diferentes y se combinen según reglas distintas, son, sin embargo, desde la perspectiva de la teoría de grupos esencialmente idénticos en todos los aspectos importantes.

El ejemplo más fácil de esto viene de la aritmética de la escuela primaria: Aprendemos a una edad temprana que la adición de dos pares da un par, etc. También aprendemos (un par de años después) que multiplicando dos negativos se obtiene un positivo, etc. De hecho, las reglas para sumar pares e impares son exactamente lo mismo como las reglas para multiplicar los positivos y los negativos.

Más concretamente, si se cambia la palabra "positivo" por "par", "negativo" por "impar", y "sumar" por "multiplicar", entonces cualquier frase verdadera que se pueda escribir sobre la suma de números pares e Impares se convierte en una frase verdadera sobre la multiplicación de números positivos y negativos, y viceversa. Visto desde un nivel abstracto, son grupos con exactamente la misma estructura.

Lo son, por supuesto, diferentes grupos: La suma y la multiplicación no son la misma operación, los números positivos no tienen por qué ser pares, etc. El isomorfismo describe la equivalencia que se nota cuando se ven más allá de los detalles particulares y se centra en las relaciones estructurales entre las partes.

Answer 5

Como ya señalan otras respuestas, el isomorfismo no es más que un reetiquetado de elementos y una operación de renombrado, pero todas las relaciones que se te ocurran como subgrupos, grupos cocientes, generadores, etc. se conservan, hasta el reetiquetado.

Permítanme hacer una analogía con un concepto similar, pero sin duda más familiar: ¿qué significa que dos triángulos (en un plano) sean congruentes? Bien, digamos que tenemos dos triángulos congruentes $\triangle ABC\cong\triangle DEF$ . Lo que significa es que podemos mover un triángulo sin deformación y superponerlo con el otro (más exactamente, hay una isometría entre ellos). Entonces, ¿cómo se relacionan estos dos triángulos? Bueno, a todos los efectos, son los mismos triángulos, sólo que con vértices reetiquetados y posicionados de forma diferente en el espacio, pero con lados de la misma longitud, ángulos de la misma medida, radios de circunferencia circunscritos de la misma longitud, ortocentro igualmente posicionado respecto a los vértices... es decir, todo lo que nos gustaría saber de un triángulo. Cuando alguien dice: "Dibuja un triángulo con estas y estas longitudes de los lados", no preguntamos dónde, o cómo debemos nombrar los vértices, simplemente lo dibujamos. Porque no es importante: nos importan los triángulos hasta la congruencia. Igual que nos importan los grupos hasta el isomorfismo.