Jugar con el toro y semisimplicial conjuntos (demostrar que $\phi$ $\psi$ no homotópica)

Question

Recordemos que podemos expresar el torus $|X.| \cong T$ como un cuadrado con bordes $e$$f$, diagonal $g$, se enfrenta a $T_1$$T_2$, y un solo vértice $v$, y los correspondientes identificaciones.

Deje $Y.$ ser el semisimplicial conjunto donde $Y_1 = \{a, b\}$, $Y_0 = \{u\}$, y $Y_n = \emptyset$ todos los $n \geq 2$. Podemos considerar dos mapas de la siguiente manera:

$\phi: Y. \rightarrow X.$ definido por $a \mapsto e$, $b \mapsto f$.

$\psi: Y. \rightarrow X.$ definido por $a \mapsto e$, $b \mapsto g$.

Que el mapa de la "figura de ocho" al toro. El primer mapa que parece tomar la forma de ocho para el tradicional de dos no-trivial de bucles (va en el interior del agujero, a continuación, volver hacia atrás, y va alrededor de la línea ecuatorial). El segundo mapa, por otro lado, parece tomar el primer bucle en el mismo bucle en el toro, pero el segundo bucle a una combinación de la primera y de la segunda (una especie de diagonal bucle compuesto de cada uno de los no-trivial de bucles de antes).

Mi objetivo es calcular el núcleo y cokernel de $\phi_*$ $\psi_*$ para cada uno de $H_0, H_1, H_2$, y también para demostrar que $\psi$ $\phi$ no homotópica (que parece intuitivamente obvio, pero para los que la prueba se escapa de mí).

Answer 1

Para la figura de ocho en $\large\infty$ el complejo de cadena es $$0\to \langle a,b \rangle\to \langle u \rangle\to 0$$ donde todos los mapas se $0$, por lo que estos ciclos también generar la homología de grupos $$H^Δ_2=0,\quad H^Δ_1=⟨a,b⟩=\Bbb Z^2, \quad H^Δ_0=⟨u⟩=\Bbb Z$$
Para el torus $T^2$ el complejo de cadena es $$0 →⟨T_1,T_2⟩ →⟨e,f,g⟩ →⟨v⟩ →0$$ donde sólo el primer mapa no es trivial y envía $T_i$$e+f-g$. La homología simplicial grupos $$H^\Delta_2= ⟨T_1-T_2⟩=\Bbb Z,\quad H^Δ_1=\frac{⟨e,f,e+f-g⟩}{⟨e+f-g⟩}=⟨e,f⟩=\Bbb Z^2, \quad H^Δ_0=\Bbb Z$$ Para mostrar que $\phi_*,\psi_*$ no homotópica, considere la posibilidad de la propiedad conmutativa de la plaza $$\begin{array}{ccc} H^\Delta_n(\infty) & \to & H_n(\infty)\\ \downarrow & & \downarrow\\ H^\Delta_n(T^2) & \to & H_n(T^2) \end{array}$$ Los mapas horizontales son isomorphisms entre el simplicial y el singular homología de grupos, y estos morfismos respecto a los mapas de $\phi_*$$\psi_*$. Pero homotópica mapas de inducir los mismos mapas en singular homología de grupos, por lo tanto también en simplicial grupos. Sin embargo, $\phi_*$ $\psi_*$ no son iguales. El primero envía a$a$$[e]$$b$%#%, y es un isomorphisms. El segundo envía $[f]$ $a$ $[e]$ % # % que es igual a $b$, y es un isomorphisms, demasiado, pero uno diferente.