Supongamos que quiero encontrar todas las soluciones continuas de la ecuación funcional $$f(x)+f(x+1)=f(2x+1),\tag{E1}$$ donde $f$ es un proceso continuo y $2$ -periódica definida en los racionales diádicos.
Sé que si tengo cualquier función continua $g$ Satisfaciendo a $$g(x)+g(x+1) = 0,\tag{E2}$$ entonces puedo construir una solución continua para la ecuación original como la serie uniformemente convergente $$f(x) = g(x) - g(2x)/2 - g(4x)/4 - \cdots$$
En efecto, obtenemos $f(x)+f(x+1)-f(2x+1) = g(x)+g(x+1)-g(2x)-g(2x+1) = 0$ .
Por el contrario, a partir de una solución $f$ para $(\rm E1)$ Puedo construir la solución correspondiente $g$ para $(\rm E2)$ , como la serie simplemente convergente $$g(x) = f(x) + f(2x)/2 + f(4x)/2 + \cdots - f(1)/2.$$ Para cada número diádico $x$ , con el tiempo $2^nx$ es un número entero par y entonces $f(2^n x) = f(0) = 0$ Por eso la serie converge.
Y de nuevo, obtenemos $$\begin{align*} g(x)+g(x+1) &= f(x)+f(x+1)+f(2x)+f(4x)+\cdots -f(1) \\ & = f(2x)+f(2x+1)+f(4x)+\cdots-f(1) \\ & = \cdots = f(1)-f(1) \\ & = 0. \end{align*}$$
Pero esta vez, porque $g$ no es uniformemente convergente, no hay garantía de que $g$ será continua.
Estas dos operaciones son inversas la una de la otra, por lo que al observar las soluciones no continuas, existe una correspondencia uno a uno entre las soluciones de las dos ecuaciones. Pero un sentido preserva la continuidad, mientras que el otro no.
Por lo tanto, mi pregunta es:
¿Existen soluciones continuas para $(\rm E1)$ correspondientes a soluciones no continuas para $(\rm E2)$ ?
No veo a priori por qué no lo habría, pero tampoco puedo entender la manera de construir uno. También sé que la teoría de Fourier se puede utilizar para responder a este tipo de problemas, pero no sé si da resultados más sólidos que lo que acabo de exponer.
