$n\cdot \phi(n)=m\cdot \phi(m)$

Question

Si no me equivoco aquí en OEIS dice que

$n\cdot \phi(n)=m\cdot \phi(m)$ es posible sólo si $n=m$.

$\phi(n)$ denota Euler totient función.

Hay una prueba de este hecho?

Answer 1

Supongamos $n$ es el número más pequeño de tal manera que un número $m\ne n$ existe con

$$n\ \phi(n)=m\ \phi(m)$$

Deje $p$ ser el mayor factor principal de $n$ $q$ ser el mayor factor primo de $m$. A continuación, $p<q$ es imposible, porque la $n\ \phi(n)$ no sería divisivle por $q$. $p>q$ es imposible, porque la $m\ \phi(m)$ no sería divisible por $p$. Por lo tanto, tenemos $p=q$.

La valoración de $p$ $n\ \phi(n)$ está determinada únicamente por la tasación de las $p$$n$, por lo que las valoraciones de $p$ $n\ \phi(n)$ y $m\ \phi(m)$ deben de coincidir.

Por lo tanto, tenemos $\frac{n}{p}\phi(\frac{n}{p})=\frac{m}{p}\phi(\frac{m}{p})$

contradiciendo la suposición de que $n$ es el número más pequeño, de tal manera que una $m$ existe $n\ \phi(n)=m\ \phi(m)$.

Por lo tanto $n=1$, pero $1=m\ \phi(m)$ tiene la única solución de $m=1$.