Relación entre los módulos proyectivos sobre $R$ $R[T]$

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo y $R[U]$ el polinomio anillo en una variable. ¿Cuál es la relación entre proyectivas de los módulos a través de $R$ y proyectivas de los módulos a través de $R[U]$? Es cada módulo proyectivo sobre $R[U]$ de la forma $P[U]$ para un proyectiva $R$-módulo de $P$? Si no ¿cuáles son los obstáculos?

Edit: me di cuenta de que esta pregunta era general de lo que realmente estaba buscando. Dado que la pregunta en la forma actual parece ser muy interesante, por su propia cuenta, me abstuve de edición y abrió una nueva pregunta en su lugar.

Answer 1

Aquí está la respuesta para finitely módulos de rango uno. Recordemos que el isomorfismo de las clases de estos módulos forman un grupo, el grupo de Picard $Pic(R)$, con tensor de producto como la multiplicación.

Teorema (Traverso, Cisne)
Para un anillo conmutativo $R$ los siguientes son equivalentes:
a) La reducción del anillo de $R_{red}=R/Nil(R)$ es semi-normal
b) El grupo natural de morfismos $Pic(R)\stackrel {\cong}{\to} Pic(R[U])$ es un isomorfismo ($U=$ indeterminado).

Y ¿qué significa que $R$ es semi-normal?

Esto significa que si $x,y\in R$ satisfacer $y^2=x^3$, entonces no existe $s\in R$$x=s^2$$y=s^3$ .
(Geométricamente: puede parametrizar la cúspide $R$ ).
Es cierto que esta condición es un poco extraño, pero al menos es fácil ver que un timbre normal $R$ (= integralmente cerrado de dominio) es semi-normal :
Tome $s=\frac {y}{x}\in Frac(R)$. Por supuesto, tenemos $x=s^2$$y=s^3$.
El punto clave es que el $s\in R $ : la fracción $s=\frac {y}{x}$ integral $R$ porque satisface el monic ecuación de $T^2-x=0$ y desde $R$ es integralmente cerrado debemos tener $s\in R$ .

Answer 2

Si $R$ es una izquierda regular anillo, luego de la canónica de mapa de $K_0(R) \to K_0(R[t])$ es un isomorfismo. Este resultado es debido a Grothendieck, al menos, al $R$ es conmutativa. El caso general se puede encontrar en el documento "la Whitehead grupo de un polinomio de extensión" (Bass, Heller, Swan) o en Rosenberg libro sobre Algebraica de K-Teoría.

Por supuesto, esto no implica que cada f.g. proyectiva $R[t]$-módulo tiene la forma $P[t]$ para algunos f.g. proyectiva $R$-módulo (pero no podemos esperar que!); pero esto resulta ser cierto "hasta exacta de secuencias".