$(n!+1,(n+1)!)$ consejos para encontrar el mcd.

Question

$(n!+1,(n+1)!)$ puede ser reescrita como $(n!+1,(n+1)*n!)$.

Sé que si $n!$ es divisible por un primo $p$ $p$ no dividir n!+1. Así que cuando estoy mirando, a continuación, se $(n!+1 , n+1)$ que puedo hacer $(n!-n,n+1)$ por restando $n+1$ $n!+1$ y desde el mcd es conservado en las combinaciones lineales I aún así obtener el mismo gcd para $(n!-n,n+1)$. Luego me mira a $n!-n = n[(n-1)!-1]$ nuevo si un primer $p$ divide $n$ voy a encontrar a ese $p$ no divide $n+1$. Así que estoy mirando $((n-1)!-1,n+1)$. He mirado en los primeros n y parece que el mcd es 1 o n+1. Pero estoy atascado en la forma de llegar desde $((n-1)!-1,n+1)$.

¿Alguien puede proporcionar un indicio de cómo proceder?

Answer 1

Sugerencia $\ $ Considera $\rm\:(n+1,n!+1)\:.$ Si el primer $\rm\:p\ |\ n+1\:$ $\rm\:p \le n\:$ $\rm\:p\ |\ n!\:$ $\rm\:p\nmid n!+1\:.$ por Lo que el mcd $ = 1\:$ si $\rm\:n+1\:$ es compuesto. Para $\rm\:n+1\:$ primer uso del teorema de Wilson.

Answer 2

Has hecho un gran trabajo!

Así que, sí, usted sabe que los únicos números que podrían posible dividir ambos lados se $n+1$ o $1$ (que me parece ser la parte más difícil). Así que nos preguntamos, ¿qué es $n! + 1 \mod (n+1)$. Si es cero, sólido. Si no, relativamente primos.

Lo que hace Wilson del Teorema de decir de nuevo? (Me encanta cuando llegamos a el uso del Teorema de Wilson para nada, como sus aplicaciones especie de rara vez vienen arriba).

Answer 3

Vamos

$gcd(n!+1,(n+1)!)=d$.\ $\therefore d/n!+1, d/(n+1)n!$.\ $\Rightarrow d/n!+1,d/n+1,d/n!$.\ $\Rightarrow d/n!+1-n!$.\ Por lo tanto tenemos $d/1$. De ello se desprende que $d=1$.