Demostrar que $f(x)$ es una función constante.

Question

Esta es la pregunta: Sea f una función continua de valor real sobre $[0, )$ . Supongamos que $f (x) = f (x^2)$ para todo x 0, demostrar que f (x) es una función constante.

Mi intento: Como f(x) es continua, y $f(x^2)$ es continua, entonces $f(x)-f(x^2)$ es continua.

Intentaré demostrar el contrapositivo. Si f(x) no es una función constante, entonces $f(x)$ no es igual a $f(x^2)$ para todo x.

Dejemos que $f(x)$ ser de la forma $a_n*x^n + .... +a_1*x + a_0$ Dejemos que $f(x^2)$ ser de la forma $a_n*x^(2n) + .... +a_1*x^2 + a_0$ En ambos casos, $a_j$ no es igual a 0 para todos los j en ${1,...,n}$

Así que $g(x)=f(x)-f(x^2)$ no es igual a 0 para alguna x. Además, $g(x)$ es continua. Ahora estoy atascado, y su ayuda sería apreciada.

Además, todavía no hemos tratado los derivados en nuestra clase.

Answer 1

Sugerencia: Por suposición, tenemos $$f(x)=f\left(x^2\right)=f\left(x^4\right)=\cdots=f\left(\lim_{n\to\infty}x^{2^n}\right)=f(0)$$ para cualquier $0\leq x<1$ , y $$f(x)=f\left(x^\frac{1}{2}\right)=f\left(x^\frac{1}{4}\right)=\cdots=f\left(\lim_{n\to\infty}x^\frac{1}{2^n}\right)=f(1)$$ para cualquier $x\geq 1$ .