Estoy tratando de comprender la totalidad de la varianza de las ets/error cosa de una serie de tiempo de los rendimientos financieros, y creo que estoy atascado.
Tengo una serie de mensual de valores de datos de retorno (vamos a llamar a $X$), que tiene valor esperado 1.00795, y la varianza 0.000228 (std. dev es 0.01512).
Estoy tratando de calcular el peor de los casos de la declaración anual (digamos que el valor esperado menos dos veces el error estándar). Cual es la mejor manera de hacerlo?
Una. Calcular para un solo mes ( $\mu_X-2\cdot \sigma_X=0.977$ ), y se multiplica por sí mismo 12 veces (=0.7630).
B. Suponiendo que los meses son independientes, definir $Y=X\cdot X\cdot ...\cdot X$ 12 veces, de encontrar el valor esperado $E[Y]=(E[X])^{12}$) y de la varianza de $\operatorname{var}[Y]=(\operatorname{var}[X]+E[X])^2)^{12}
- (E[X]^2)^{12}$. El estándar dev en este caso es 0.0572, y el valor esperado menos el doble de la ets. dev es 0.9853.
C. Multiplicar el mensual sexual. dev con $\sqrt{12}$ para obtener el anual. lo utilizan para encontrar el peor de los casos valor anual ($\mu - 2\cdot \sigma$). Sale como 0.9949.
Cuál es la correcta? ¿Cuál es la forma correcta de calcular el esperado valor anual menos el doble de la ets. dev si usted sabe estas propiedades sólo para los datos mensuales? (En general - si $Y=X\cdot X\cdot ...\cdot X$ 12 veces y $\mu_X$, $\sigma_X$ se sabe, de lo que es $\mu_Y-2\cdot \sigma_Y$ ?)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si se define la proporcionalidad de retorno como $\Delta P/P = (P_{t+1}-P_t)/P_t$ donde $P$ es el precio, no es raro que con el diario vuelve a simplemente multiplique la parte proporcional de retorno por $250$ (número de días laborables en un año) y la desviación estándar por $\sqrt{250}$ anualmente. Esto corresponde a su caso C. El punto aquí es que para cambiar la escala , de modo que una significativa anual de la figura puede ser reportado por el diario figuras (pero no el uso de este rigurosamente comparar las métricas derivadas de diario en contra de los que se derivan de cada mes). En general, tendría que hacer todos los cálculos y hacer que todas tus decisiones en la frecuencia de recogida de sus datos (mensual en su caso).
En teoría el enfoque correcto es el uso de registro de devoluciones = $\log(P_{t+1}/P_t)$ (natural mediante registros). La fórmula para la expectativa de una suma de variables aleatorias pueden entonces ser utilizados correctamente, porque la suma de registro de los rendimientos es el registro de los productos de la devuelve.
Además, si utiliza el registro devuelve el Teorema del Límite Central da algunos justificación teórica de que el registro de las devoluciones están distribuidos normalmente (esencialmente el Teorema del Límite Central dice que la suma de las variables independientes tiende a una distribución normal a medida que el número de variables aleatorias en la suma aumenta). Esto permite asignar una probabilidad a ver un retorno de menos de $\mu - 2\sigma$ (la probabilidad está dada por la función de distribución acumulativa de la distribución normal: $\Phi(-2) \simeq 0.023)$. Si el registro de las devoluciones están normalmente distribuidos, entonces, podemos decir que los retornos son lognormally distribuido -- este es uno de los supuestos utilizados se derivan de la famosa Black Scholes opción fórmula de fijación de precios.
Una cosa a tener en cuenta es que cuando un proporcional de retorno es pequeño, entonces la parte proporcional de retorno es aproximadamente igual a la de registro de las devoluciones. La razón de esto es que la serie de Taylor para el logaritmo natural está dado por $ \log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \ldots$, y cuando el proporcional de retorno $x$ es pequeño, usted puede ignorar los términos con $x^2$, $x^3$, etc. Esta aproximación da un poco más de comodidad para aquellos que prefieren trabajar con proporcional devuelve y multiplicar la media por $n$ y la desviación estándar por $\sqrt{n}$!
Usted debe ser capaz de encontrar más información en la web. E. g., He intentado buscar por "registro de devoluciones" para refrescar mi memoria, y el primer éxito parecía bastante bueno.
Lo que han puesto en el caso de que Una está mal. En el resto de tu post de utilizar los hechos de que (i) la expectativa de una suma de variables aleatorias es la suma de sus expectativas, y (ii) la varianza de una suma de variables aleatorias independientes es la suma de sus varianzas. De (ii), se desprende que la desviación estándar de $n$ independientes idénticamente distribuidas variables aleatorias con una desviación estándar $\sigma$$\sqrt{n}\sigma$. Pero en el caso de Una se han multiplicado tanto la media de $\mu_X$ y la desviación estándar $\sigma_X$$n$, mientras que la media debe ser multiplicado por el $n$ y la desviación estándar por $\sqrt{n}$.
Un punto sutil pero importante, como lo señaló en @whuber del comentario, es que la regla (ii) requiere de correlación, que en el caso de series de tiempo significa que no hay correlación serial (generalmente cierto, pero vale la pena comprobar). El requisito de independencia sostiene a la parte proporcional de registro y devuelve caso.
(No he visto el caso B, el producto de variables aleatorias, antes de. No creo que este enfoque se utiliza comúnmente. No he mirado en detalle en sus cálculos, pero sus números mirada sobre el derecho, y la fórmula se puede encontrar en wikipedia. En mi opinión, este enfoque parece ser mucho más complicada que la de la aproximación implicados en el uso proporcional de las devoluciones o la teoría de sonido enfoque de la utilización del registro de las devoluciones. Y, en comparación con el uso de registro de devoluciones, ¿qué se puede decir acerca de la distribución de Y? ¿Cómo se puede asignar probabilidades a tu peor de los casos de retorno, por ejemplo?)
