Es este Espacio Homotopy Equivalente a $S^2$

Question

Deje $X$ ser el espacio de $S^1$ dos $2$-células conectadas a través de mapas de relativamente primos grados. Este espacio es simplemente conectado y tiene la homología de $S^2$, pero es homotopy equivalente a $S^2$?

Answer 1

Por el teorema de Hurewicz, $\pi_2(X) \cong \Bbb Z$. Deje $f : S^2 \to X$ ser un generador de $\pi_2(X)$. Este mapa es de grado uno por el mismo teorema, y por lo tanto induce isomorphisms en todos los grupos de homología. Desde $X$ es un CW complejo y tanto $X$ $S^2$ simplemente conectado, se deduce que el $f$ es un homotopy equivalencia por la homología de la versión de Whitehead del teorema. Para una declaración y la prueba de este teorema, ver corolario 4.33 en Hatcher Topología Algebraica.

Answer 2

Tome una de las 2-las células en $X$ y llamar a $A$. A continuación, $(X,A)$ es un CW-par, por lo que tiene la homotopy extensión de la propiedad. Desde $A$ es contráctiles, a continuación, se deduce que el cociente mapa de $\pi: X \rightarrow X/A$ es un homotopy de equivalencia. Pero $X/A$ es homeomórficos a $S^2$.

Answer 3

Hay una solución aquí http://www.math.ku.dk/~moller/blok1_05/A-ex.pdf?q=allen-hatcher página 25

Brevemente, se puede afirmar, como este: $Y^0={e_0}$, $Y^1=S^1$, $Y^2=Y$, donde se denota el $1$-celular: $e_1$ e las $2$-células de $e_a$$e_b$. donde $a,b$ son relativamente primos $\pi_1(S^1\cup e_a, e_0)=\{e_1|(e_1)^a\}$. La fijación de mapa de $f_a:S^1\rightarrow S^1\subset S^1\cup e_a$ es un elemento en el $\pi_1(S^1\cup e_a, e_0)$$[f_a]=e_1^a=e_1$. Por lo tanto, el archivo adjunto mapa es homotópica a la de grado de un archivo adjunto mapa de $id:S^1\rightarrow S^1\subset S^1\cup_{id} e_a$. Vamos $0:S^1\rightarrow S^1$, $0(S^1)=e^0$ ser la constante mapa. Tenemos los siguientes homotopies: $Y=S^1\cup_{f_a}e_a\cup_{f_b}e_b\sim S^1\cup_{f_a}e_a\cup_{id}e_b=S^1\cup_{id}e_b\cup_{f_a}e_a=D_2\cup_{f_a}e_a \sim D^2\cup_0 e_a=D^2\vee S^2\sim S^2.$ El homotopies dependen 0.18 desde Hatcher del libro.