Demostrar que $1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$n \in \mathbb{N}$.

Question

Problema: Demostrar que $1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$n \in \mathbb{N}$.

Mi trabajo: Así que creo que tengo que hacer una prueba por inducción y yo sólo quería un poco de ayuda de edición de mi prueba.

Mi intento:

Deje $P(n)=1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$n \in \mathbb{N}$. A continuación, $$P(1)=1^2=\frac{1(1+1)(2+1)}{6}$$ $$1=\frac{6}{6}.$$ Por lo $P(1)$ es cierto.

El próximo supongamos que $P(k)=1^2+2^2+\cdots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$$k \in \mathbb{N}$. A continuación, la adición de $(k+1)^2$ a ambos lados de $P(k)$, obtenemos los siguientes: $$1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2$$ $$=\frac{2k^3+3k^2+k+6(k^2+2k+1)}{6}$$ $$=\frac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}$$ $$=\frac{(k^2+3k+2)(2k+3)}{6}$$ $$=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$$ $$=\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$$ $$=P(k+1).$$ Por lo tanto $P(k)$ es cierto para $k \in \mathbb{N}$. Por lo tanto, por inducción matemática, $1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ es cierto para $n \in \mathbb{N}$.

Answer 1

Considere la posibilidad de cualquier número natural $r$. Ha $$r^3-(r-1)^3=3r^2-3r+1.$$

Ahora telescopio: $$ 1^3-0^3=3-3+1 $$ $$2^3-1^3=3\cdot2^2-3\cdot2+1 $$ $$\vdots $$ $$ n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1 $$ Now add, and see them cancel out. You are left with $$n^3=3(1^2+2^2+\cdots+ n^2)-3(1+2+3+\cdots+n)+n$$ Usted debe saber $$ 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}. $$ Enchufe, y obtendrá la respuesta. También, favor de ver que este método funciona incluso para $\sum r^4,r^5,\cdots$. He probado. Todo lo que usted necesita es la suma de sus atribuciones.

Answer 2

Voy a ofrecer lo que yo creo que es una bonita manera de escribir una prueba, tanto en términos de precisión y en términos de comunicación. Sea usted el juez(s).

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Reclamo: Para $n\geq 1$, vamos a $S(n)$ ser la declaración de $$ S(n) : 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. $$

Base paso a $(n=1)$: La declaración de $S(1)$ dice $1^2=1(2)(3)/6$, lo cual es cierto.

Inductivo paso $(S(k)\to S(k+1))$: Corregir algunos $k\geq 1$ y supongamos que $$ S(k) : 1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} $$ sostiene. Para ser mostrado es que $$ S(k+1) : 1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6} $$ de la siguiente manera. Comenzando con el lado izquierdo de $S(k+1)$, \begin{align} \text{LHS} &= 1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2\tag{definition}\\[1em] &= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2\tag{by %#%#%}\\[1em] &= (k+1)\left[\frac{k(2k+1)}{6}+(k+1)\right]\\[1em] &= (k+1)\frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6}\\[1em] &= (k+1)\frac{2k^2+k+6k+6}{6}\\[1em] &= (k+1)\frac{2k^2+7k+6}{6}\\[1em] &= (k+1)\frac{(k+2)(2k+3)}{6}\\[1em] &= \frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}\\[1em] &= \text{RHS}, \end{align} el lado derecho de la $S(k)$ sigue. Esto completa el paso inductivo.

Así, por inducción matemática, para cada $S(k+1)$ es cierto. $n\geq 1, S(n)$

Answer 3

Su suposición inductiva es tal que la fórmula marcada $\color{red}{\mathrm{red}}$ (varias líneas de abajo) tiene por $i=k$:

$$\sum^{i=k}_{i=1} i^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} $$

Usted necesita demostrar que para $i=k+1$: $$\sum^{i=k+1}_{i=1} i^2=\color{blue}{\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}$$

Para ello se puede utilizar: $$\sum^{i=k}_{i=n} i^2=\color{red}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} $$ como este es lo que usted está tratando de demostrar.

Entonces, ¿qué puedes hacer en su lugar es un aviso de que: $$\sum^{i=k+1}_{i=1} i^2= \underbrace{\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}_{\text{sum of k terms}} + \underbrace{(k+1)^2}_{\text{(k+1)th term}}$$ $$\sum^{i=k+1}_{i=1} i^2= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{6(k+1)^2}{6}$$ $$\sum^{i=k+1}_{i=1} i^2= \frac{(k+1)\left(k(2k+1)+6(k+1)\right)}{6}$$ $$\sum^{i=k+1}_{i=1} i^2= \frac{(k+1)(2k^2+\color{green}{7k}+6)}{6}=\frac{(k+1)(2k^2+\color{green}{4k+3k}+6)}{6}=\frac{(k+1)\left(2k(k+2)+3(k+2)\right)}{6}=\color{blue}{\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}\quad \forall \space k \in \mathbb{N}$$

Que es la relación nos proponemos demostrar. Así que el método es sustituto $i=k+1$ en la fórmula que se está tratando de probar y, a continuación, utilizar la suposición inductiva para recuperar la $\color{blue}{\mathrm{blue}}$ ecuación de la final.