¿Qué es realmente el rigor matemático? ¿Cómo puedo ser más riguroso?

Question

Soy un estudiante de matemáticas que ha recibido algunos comentarios constructivos de dos instructores al final de mis exámenes. En concreto, que soy un poco maniático y no siempre muy riguroso. Si bien aprecio mucho este comentario, ya que tengo la intención de solicitar el ingreso a la escuela de posgrado, me preocupa porque cuando entrego una tarea, generalmente siento que las pruebas son riguroso ya, y no estoy seguro de lo que me estoy perdiendo. Obviamente, entablaré un diálogo con mis profesores sobre lo que puedo hacer para ser más riguroso, pero espero que los expertos de este foro puedan proporcionar algunos ejemplos o distinciones entre los argumentos rigurosos y los argumentos que se acercan, pero tal vez glosan detalles importantes para que pueda ver más claramente la diferencia.

Cabe destacar que he realizado un curso de razonamiento matemático y lógica y me fue muy bien en él. Algo ha sucedido en el último año, más o menos, para reducir la calidad de mis argumentos, o más bien, la expectativa ha subido y mi nivel de rigor no ha estado a la altura.

Creo que otro aspecto que hace que esto sea un problema problemático para mí es que normalmente me va muy bien en las tareas. El 90% de forma consistente, a veces con pequeños errores. Siento que estoy recibiendo señales contradictorias de algunas de mis clases cuando me dicen constantemente que lo estoy haciendo bien, pero me dan este consejo. Todo esto se dice sin rencor ni malicia, sólo que a veces me siento confundido sobre mi propio nivel de comprensión.

Así que si alguien tiene algún consejo general, o ejemplos útiles de argumentos que parezcan rigurosos pero que necesiten ser parcheados, sería muy apreciado. Quiero tener una idea de cómo es una prueba realmente sólida en comparación con un argumento menos pulido que parece pasable para alguien que todavía tiene ingenuidad.

Edición: Aquí hay un ejemplo de una de esas preguntas en la que me costó mucho tiempo producir la prueba publicada, e incluso entonces me faltaba algo para ser totalmente riguroso. Grupos de homología de superficies orientables.

Answer 1

Me siento identificado. A lo largo de los años, muchos de mis exámenes y tareas tenían deducciones por no ser lo suficientemente rigurosos.

El truco del rigor matemático consiste en gestionar los saltos que se dan de una afirmación a otra. El tamaño de los saltos es inversamente proporcional al rigor.

Permítanme mencionar algunas heurísticas que suelen funcionar bien para mí:

• Si pasas mucho tiempo pensando en un paso, dedícale también mucho tiempo a escribirlo: parece que no está claro a primera vista.
• Cuando utilice teoremas relevantes para el tema y el nivel de la prueba, menciónelos. Si es necesario, verifique explícitamente que se cumplen las hipótesis.
• Intenta comprobar cómo funciona tu prueba en un ejemplo pequeño o manejable.
• Siempre que cedas a la tentación de utilizar "obviamente", "trivialmente", "claramente" y sus hermanos, o simplemente dejes de lado un paso intermedio, presta especial atención para asegurarte de que el salto que estás dando es realmente lo suficientemente pequeño como para que se pueda eliminar utilizando estos términos.

Espero que esto le ayude a evaluar su propio rigor.

Quedan dos indicaciones obvias:

• Haz que otros lean tu trabajo. Siempre es una buena señal que otros puedan seguir tus pruebas.
• Practica. Lo conseguirás.

Como comentario adicional, siempre he encontrado que escribir las respuestas en Maths.SE es un buen medio para combinarlas.

Answer 2

Debes ser capaz de delinear los teoremas matemáticos precisos que te permiten realizar cada paso de una demostración. Por ejemplo, si tiene $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ y tú escribes: deja que $r,\theta$ satisfacer $x = r\cos \theta,y=r\sin \theta$ con $r\geq 0$ y $2\pi > \theta \geq 0$ estás usando un teorema que dice que..:

Propuesta. Para todos $x,y \in \mathbb{R}$ existe $r \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ y $\theta \in \mathbb{R}$ tal que $x=r\cos \theta$ y $y = r \sin \theta$ y $2\pi > \theta \geq 0$ .

Asegúrate de que puedes escribir explícitamente los teoremas que te permiten dar los pasos que estás dando.

La otra cosa es que necesitas desarrollar una intuición de lo que el instructor (lector, etc.) espera que des por sentado. Puede que tengas que escribir algunos lemas de seguimiento si hay pasos en tu prueba que invocan teoremas que realmente no deberías dar por sentados.

Answer 3

Una prueba de una proposición es rigurosa si convence al lector de que la proposición es verdadera más allá de toda duda razonable. En matemáticas, como en todo lo demás, lo que constituye una "duda razonable" es flexible. Depende del contexto cultural:

• Lo que era riguroso para Euclides no siempre era riguroso a Hilbert .
• Lo que era riguroso para Gauss no siempre era riguroso a Whitehead & Russel .
• ¿Qué es? riguroso en física no siempre es riguroso en matemáticas .

Depende de la situación en cuestión:

• Lo que es riguroso en un artículo publicado, destinado a convencer a los expertos de un nuevo resultado, puede no serlo en una tarea para casa, destinada a verificar que un estudiante sabe realmente de qué está hablando.
• Lo que es riguroso cuando se enseña a estudiantes de secundaria, que suelen estar muy dispuestos a confiar en la intuición, puede no serlo cuando se enseña a estudiantes de posgrado, que saben por amarga experiencia cómo la intuición puede llevarles por el mal camino.

Saber qué nivel de rigor utilizar en un contexto determinado es una habilidad social, y sólo puede aprenderse mediante la interacción social.

Para acostumbrarte al nivel de rigor de tus cursos, mira las pruebas escritas por otras personas: tus compañeros de clase, tus profesores, los autores de tus libros de texto. Fíjate en los puntos que los profesores han señalado como lagunas en el trabajo de los estudiantes y observa cómo otras personas han solucionado esas lagunas. Como has sugerido, pregunta a tus profesores cómo puedes reforzar tus argumentos en los lugares donde son demasiado débiles para el curso.

Creo que es normal, en un curso de grado, que una prueba obtenga una buena nota pero también una nota que debería ser más rigurosa. Como analogía, si yo calificara un ensayo para una clase de geología planetaria escrito en inglés por un estudiante que todavía está aprendiendo inglés, le señalaría las frases extrañas y los errores gramaticales para ayudarle a mejorar su escritura, pero no le castigaría en la nota por ello. En un ensayo para una clase de escritura en inglés, por supuesto, podría ser una historia diferente. Creo que la mayoría de los profesores de matemáticas consideran que hay que empujar a los alumnos hacia un nivel de rigor adecuado para ayudarles a mejorar su escritura, pero no castigarlos duramente por desviarse de él, excepto, por supuesto, en una clase dedicada a enseñar un determinado nivel de rigor.

TL;DR. La mala noticia es que el rigor, como todas las normas sociales humanas, es algo vago y arbitrario, y por tanto frustrante de aprender. La buena noticia es que eres un humano, así que lo aprenderás. Buena suerte.

p.s. Si te ha gustado esta respuesta, puede que también te guste la de Eugenia Cheng "Las matemáticas, moralmente," que toca muchos temas relacionados.

Answer 4

Para ser riguroso, debes citar una autoridad para cada paso que des, o demostrar el paso mediante los pasos intermedios que sean necesarios: Para un ejemplo de rigor, mira los "Elementos de Geometría" de Euclides, donde lo primero es una definición de punto, línea, superficie plana, y luego se demuestra la herramienta básica de Euclides, la congruencia de los triángulos, por métodos que le sonarán a un topólogo de hoy en día: las congruencias de los triángulos: tres lados iguales a tres lados (SSS), luego dos lados y el ángulo incluido, (SAS) y dos lados y el ángulo correspondiente ASA) se demuestran en detalle, con el cuarto; Ángulo recto, hipoitenusa y un lado, luego las pruebas subsiguientes usan estos para razonar la nueva propiedad más profunda que se está estudiando. Espero que esto ayude/ Bill Greig (BSc St And)