Div, curl y álgebra lineal

Question

Me he encontrado con este post inactivo en algún foro en línea . Lo pongo aquí textualmente, me parece que vale mucho.

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Por el profesor S. D. Agashe, IIT Bombay

(Fuente: Vector Calculus, por Durgaprasanna Bhattacharyya, University Estudios Universitarios, Tesis del Premio Griffith, 1918, publicada por la Universidad de Calcuta, India, 1920, 90 pp)

Capítulo IV: La función vectorial lineal, artículo 15, p.24:

"La expresión vectorial más general lineal en $r$ sólo puede contener términos de tres tipos posibles, $r$ , $(a\cdot r)b$ y $c\times r$ , $a$ , $b$ , $c$ siendo vectores unitarios constantes. Dado que $r$ , $(a\cdot r)b$ y $c\times r$ son en general no coplanares, se deduce del teorema del paralelepípedo de los vectores que la expresión vectorial lineal más general puede escribirse en la forma $\lambda \cdot r + \mu (a\cdot r)b + \nu (c\times r)$ , donde $\lambda, \mu, \nu$ son constantes escalares".

Bhattacharyya no lo demuestra. ¿Ha visto alguien un resultado similar y su prueba?

Bhattacharyya utiliza esto para demostrar que la divergencia de la función lineal es ( $3 \lambda + a\cdot b$ ), que el rizo es ( $a \times b + 2c$ ). A continuación, define la div y el rizo de una función diferenciable como la div y el rizo de la función derivada (lineal). La div y el rizo de una función lineal se definen en términos de ciertas integrales de superficie.

Estoy entusiasmado con este resultado porque parece proporcionar una excelente ruta hacia la div y el rizo, como señala el propio Bhattacharyya.

Perdón por una comunicación algo larga y "técnica".

Answer 1

La afirmación es cierta. Cualquier $3\times3$ se puede expresar como $$ A= \lambda I+ a b^T + B $$ donde $\lambda$ es real, $a$ y $b$ son 3 vectores y $B$ está sesgado (por lo que $Bx=c\times x$ para algún vector $c$ ).

Para demostrarlo, elige una matriz ortogonal $Q$ para diagonalizar la parte simétrica de $A$ . Entonces $Q^TAQ=D+K$ donde $D$ es diagonal y $K$ está sesgada. Si las entradas diagonales de $D$ no son todos distintos, entonces es fácil escribir $D=\lambda I+\hat a \hat b^T$ y terminamos como se indica a continuación. Si las entradas son todas distintas podemos suponer que $Q$ se eligió de forma que el mayor valor propio de $D$ es el primero, el más pequeño segundo y el medio el último. Entonces, para algunos positivos $\mu$ y $\nu$ la matriz $D$ se puede escribir $$ D = \lambda I + \mu \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\cr 0 &-\nu^2&0\cr 0&0&0 \end{pmatrix} =\lambda I + \hat a\hat b^T+\hat K, $$ con $$ \hat a= \mu\begin{pmatrix}1\cr \nu\cr0\end{pmatrix}, \quad \hat b= \begin{pmatrix} 1 \cr -\nu\cr 0 \end{pmatrix}, \quad \hat K=\mu\begin{pmatrix} 0&\nu&0\cr -\nu & 0&0\cr 0&0&0 \end{pmatrix} . $$ Dejemos que $a=Q\hat a$ , $b=Q\hat b$ y $B=Q(\hat K+K)Q^T$ , y ya está.

Answer 2

No estoy seguro de que sea un buen enfoque. El vector lineal más general en $r$ es $M r$ donde $M$ es una matriz de 3x3. El número de constantes no fijas en tu fórmula es 12, mientras que en general sólo necesitas 9. Si estableces $b=c$ parece más sensato, asumiendo $r\times c\neq0$ . Entonces es esencialmente la expansión de un vector en la base $r$ , $c$ , $r\times c$ .

La matriz $M$ puede dividirse en 3 partes, la parte de la traza, una parte simétrica sin traza y una parte antisimétrica: $$ M = \frac13\mathrm{tr}(M)\,I + \frac12(M+M^t-\frac23\mathrm{tr}(M)\,I) + \frac12(M-M^t) $$ donde $I$ es la matriz de identidad y ${}^t$ denota la transposición.

Así, los términos en $M\cdot r$ corresponden a los términos $$ x r + y (r\cdot a)c + z (r\times c)\ .$$ Puedes ver exactamente cómo tomando el gradiente de ambos lados para obtener $$ M = x\, I + y\, c a^t + z\, \varepsilon\cdot c$$ donde $\varepsilon$ es el tensor totalmente antisimétrico y $c a^t$ se puede elegir que no tenga trazos, es decir $a \cdot c=0$ . En términos de componentes, esto se lee $$ M_{ij} = x\, \delta_{ij} + y\, c_i a_j + z\, \sum_k\varepsilon_{ijk} c_k \ ,$$ donde $\delta$ es el Símbolo del delta de Kronecker .