Cogí un cubo, hice dos agujeros de distinto tamaño en el lateral, cerca del fondo, y lo llené de agua. El chorro de agua que salió del agujero más grande viajó más lejos que el chorro del agujero más pequeño. ¿Cómo afecta el tamaño del agujero a la distancia que recorre el agua?
Véase también: Ley de Torricelli .
Creo que los parámetros físicamente relevantes aquí son: 1. presión interna P en el fondo del cubo pero no demasiado cerca del agujero, unidades [ $kg*m^{-1} s^{-2}$ ], la densidad del fluido $\rho$ [ $kg*m^{-3}$ ], zona de agujeros $A$ unidades $m^2$ y la viscosidad $\eta$ $kg m^{-1} s^{-1}$ . Primero, ignoremos la viscosidad, y encontremos qué combinaciones pueden darnos una velocidad, unidades [ $m/s$ ]. La combinación única es $\sqrt(P/\rho)$ por lo que, en el límite de la viscosidad evanescente, la velocidad será independiente del tamaño del agujero. Ahora bien, si añadimos la viscosidad, se dispone de una combinación adimensional, $\rho \eta^2 P^{-1} A^{-1}$ . Podríamos tener cualquier función de esta relación adimensional, pero el sentido común nos dice que al menos en el límite de pequeñas $\eta$ debería ser una función decreciente, ya que la viscosidad debería restar energía cinética al fluido. A partir de esta relación vemos que la disminución del tamaño del agujero es equivalente al aumento de la viscosidad, y por lo tanto el agujero más pequeño debería tener una velocidad de salida menor que el más grande. Supongo que esto es una forma de decir que el agujero grande tendrá un mayor número de Reynolds y se verá menos afectado por la viscosidad.
¡Ah, muy bonito! Así que ahora tenemos un buen y claro candidato para explicar la dirección del efecto observado. Lo que me deja en duda es que hay otros coeficientes adimensionales que podemos formar, como la relación entre el diámetro del agujero y el grosor de la pared del cubo. Los coeficientes de eflujo dependen de la geometría, y como tienen un efecto enorme en el resultado, incluso una pequeña cantidad de dependencia de la geometría puede producir un gran cambio en el resultado. Una prueba sencilla sería cambiar P. Si es la viscosidad, P debería afectar al resultado. Si es el coeficiente de eflujo, no debería.
Es cierto, estaba asumiendo un grosor de pared insignificante. Por supuesto, en el límite opuesto de paredes muy gruesas, tenemos el problema del flujo de la tubería, que se entiende bastante bien, y la relación entre la viscosidad y el diámetro de la tubería juega un papel importante allí también.
Si las únicas formas de energía fueran la energía potencial del agua en el cubo y la energía cinética de la corriente que escapa, entonces, por conservación de la energía, la velocidad de la corriente tendría que ser igual a $\sqrt{2gh}$ , donde $h$ es la diferencia de altura entre el agujero y la superficie. Como se observa que $v$ (o al menos el componente de $v$ paralela al eje del flujo) depende de otros factores, es posible que en tu experimento haya habido otras formas de energía involucradas. Dos posibles candidatos son: (a) el calor por fricción, y (b) la energía cinética del agua que fluye hacia el agujero. Esperamos que el efecto b sea mínimo o nulo, tanto porque la velocidad de este flujo es pequeña como porque esta energía cinética representa un depósito de energía que es constante o cambia muy lentamente a medida que el nivel del agua desciende.
Otra cuestión es que la energía cinética es independiente de la dirección del movimiento, y el flujo de la corriente al salir puede no ser totalmente paralelo, por lo que la velocidad del flujo en la dirección paralela al eje del flujo será en general menor que $\sqrt{2gh}$ . La corriente se contrae significativamente en su salida, por lo que una buena parte de su KE es en forma de movimiento transversal al eje. Esto conduce a algo llamado coeficiente de eflujo. Hay una discusión tanto del efecto de fricción como del efecto no paralelo en las Conferencias Feynman, sección 40-3. El efecto no paralelo puede ser bastante grande. Feynman da algunos ejemplos para diferentes tipos de agujeros y tubos de descarga, y los coeficientes de eflujo son típicamente efectos de factor de dos.
Otra forma de abordarlo es a través de la conservación de la masa. Cuando se pone el pulgar sobre el extremo de una manguera de jardín, el área de la sección transversal $A_1$ de la abertura bajo el pulgar es menor que el área de la sección transversal $A_2$ de la manguera. Como el agua no se crea ni se destruye, debemos tener $v_1/v_2=A_2/A_1$ . Esto es lo contrario de lo que has observado, y las dos situaciones no son realmente análogas. Serían análogas si hubiera un pistón que presionara la superficie del agua en la parte superior del cubo, de modo que el nivel estuviera obligado a bajar a una velocidad fija.
[Se ha editado la respuesta anterior para mejorarla a partir de los comentarios de Omega Centauri].
"b) la energía cinética del agua que fluye hacia el agujero" Si mi comprensión de la hidráulica es correcta, esto es incorrecto. En la proximidad local del agujero, una mayor velocidad se corresponde con una menor presión, lo que es posible debido a la aceleración del líquido. En el punto en el que llega al agujero, el potencial del líquido en forma de presión (que proviene del potencial gravitatorio) se ha convertido en velocidad, representada por su $\sqrt{2gh}$ término. En otras palabras, la presión de estancamiento en ausencia de fricción es constante hasta que sale del recipiente.
@zass Más sencillamente, una vez que el flujo en las proximidades del agujero alcanza un estado cuasi estacionario, lo único que representa la energía cinética del flujo (dentro del cubo), es la energía cinética almacenada. La tasa de cambio de energía en el tiempo sigue siendo la tasa de masa del flujo que sale del agujero, la velocidad del tiempo al cuadrado sobre 2.
@Zassounotsukushi: Tal vez estoy entendiendo mal, pero lo que escribiste no parece conectarse con lo que escribí. Es cierto que hay gradientes de presión en el agua, pero eso no tiene nada que ver con la energía potencial gravitatoria, que es simplemente $\int \rho g y dV=(1/2)\rho g A h^2$ para una columna cilíndrica de altura h y sección transversal A. Parece que tienes en mente una descripción en términos de las leyes de Newton, lo cual está bien, pero no se relaciona directamente con una descripción en términos de energía. Sí esperamos que la energía (b) sea pequeña, ya que su v es pequeña y $K\propto v^2$ .
El usuario 1631 tiene razón en su pensamiento. Se basa en la ley de Poiseuille.
Flujo Q ~ (dP/dL)*r^4
donde dP es la diferencia de presión a través de la pequeña longitud L del orificio (imaginemos que el orificio tuviera un pequeño tubo de radio r. Ahora sabemos que dP/dL es igual porque es la diferencia de presión en el (fluido - P_atm).
Por lo tanto, Q es proporcional a r^4 mientras que la velocidad es Q/Área que es proporcional a r^2, Por lo tanto, mayor velocidad de un agujero más grande... Por supuesto, he omitido el término de viscosidad en la ecuación de proporcionalidad. Debería estar siempre ahí porque es la viscosidad la que causa este efecto, como ya han señalado otros. Pero es una constante y por eso la he omitido ya que desaparece en la proporción.
Me gusta la anotación de Ben en su respuesta. Así que vamos a comparar dos situaciones con la misma altura de la columna de agua, pero diferentes áreas del agujero, $A_1$ y $A_2$ . Encontramos que la distancia a la que chorrea el agua es diferente debido a la fricción. Propongo que la fricción es de tres fuentes diferentes.
De hecho, me imagino que la tercera sería la más significativa. Se podrían deducir algunas relaciones significativas para esto exclusivamente a partir del tamaño del agujero. Si suponemos que las dos primeras fuentes de fricción son pequeñas, entonces la velocidad inicial que sale del agujero es la misma para ambos casos, por lo que tenemos un determinado caudal y velocidad para cada uno. Si suponemos que los agujeros son circulares y extendemos esta suposición a la propia corriente, podemos encontrar el perímetro que interactúa con el aire y la densidad lineal de la corriente de agua (cerca del agujero).
Entonces el problema es similar, pero no exactamente igual, al de un proyectil con resistencia al aire. La métrica que importa es la relación entre el coeficiente de arrastre y la masa, pero la densidad de masa lineal en el caso que nos ocupa. Intentaré volver y poner algunas ecuaciones aquí más tarde para que tal vez podamos obtener una figura de mérito general para cuando se observe la desviación de una trayectoria parabólica del chorro de agua.
Pérdida de formas locales del agujero
Me di cuenta de que las partes de 1&2 es realmente un problema de ingeniería bastante estándar.
$$\Delta H = \frac{v^2}{2 g} + K \frac{v^2}{2 g}$$ $$ v = \sqrt{ \frac{2 g h}{1+K} }$$
Ahora, no podremos evitar la inevitabilidad de encontrar el número de Reynolds, así que aquí estamos.
$$Re = \frac{G D}{\mu} = 2 \frac{v \rho}{\mu} \sqrt{ \frac{A }{\pi} }$$
Si estamos hablando de en el barrio de un agujero $1 cm^2$ y una velocidad $1 m/s$ entonces encontramos que el número de Reynolds es de alrededor de 1.000. Ahora, no encontré ninguna opción para utilizar un documento académico real para obtener el coeficiente de pérdida. Ver Evaluación precisa del coeficiente de pérdidas y la longitud de entrada de la región de entrada de un canal .
$$K = 4.183 \times 10^{-5} Re + 0.152$$
Por tanto, K estará en torno a 0,2. Esta es la mayor diferencia para los dos casos con respecto a los tipos de pérdidas 1&2. Probé algunos números, como 1 m para la cabeza, y encontré que sin la pérdida de formas se obtiene alrededor de 4,4 m/s de velocidad de salida, con 1 cm^2 de agujero, se obtiene 2,8 m/s. Aumentando el tamaño del agujero 10x obtengo 2,1 m/s y disminuyéndolo 10x obtengo 3,4 m/s. Esto no es lo que esperaba. Pensaba que un agujero pequeño haría que la velocidad del fluido fuera menor, pero quizás me he equivocado en algo con los signos aunque ahora mismo no lo encuentro. Yo también sé cómo enfocaría el #3, pero no tengo tiempo. Desde luego, no creo que nadie tenga pruebas suficientes para decir que un tipo de pérdida es mayor hasta que se haga algo más de trabajo.
No creo que la resistencia del aire vaya a ser un efecto significativo. La corriente es presumiblemente constante, por lo que no es análoga a un proyectil. El aire se desplaza de delante de un proyectil y tiene que fluir alrededor de él. Esto es completamente diferente de una corriente de agua que fluye constantemente, que no desplaza ningún aire. Seguramente habrá una pequeña cantidad de fricción del aire, pero dudo que sea lo suficientemente importante. Como sabemos que los coeficientes de eflujo dan efectos de factor de dos, y dependen de la geometría, yo sospecharía que son la razón principal del efecto.
En resumen, sí, por supuesto que estoy de acuerdo en que el arrastre coeficiente es diferente, pero no estoy seguro de si la forma de la fuerza de arrastre seguirá siendo $C v^2$ . Sin embargo, no estoy convencido de que las fuerzas de fricción 1 y 2 combinadas sean mayores que la 3. No tengo argumentos de peso en ninguno de los dos sentidos, pero al menos la 3 es fácilmente calculable. Considere el hecho de que tanto 1&2 requieren introducir la viscosidad.
Los números 1 y 2 sólo son relevantes en caso de poros muy pequeños, o como se dice en hidrodinámica: a números de Reynolds muy bajos en "flujo potencial" . Para el ámbito de esta pregunta su respuesta es incorrecta.
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¿Estaban los agujeros a la misma altura? Un agujero más bajo disparará más lejos que un agujero más alto. Esto es una consecuencia de la cantidad de líquido que está presionando hacia abajo (y por lo tanto, hacia afuera) a diferentes alturas.
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Los centros de los agujeros eran horizontales.
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¿Has probado el experimento con dos cubos? Preveo que el agujero más pequeño llegaría más lejos. Creo que la corriente creada por el agua que evacua el agujero grande disminuye la presión contra el agujero más pequeño. Aunque no sé cómo calcularlo.
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Estoy convencido de que el agujero más pequeño simplemente ha aumentado la viscosidad como el usuario1631 señaló en la respuesta aceptada.
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Relacionado con esto: physics.stackexchange.com/questions/6341/