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La dimensión de Krull de un módulo de

Deje $R$ ser un anillo, $M$ $R$- módulo. A continuación, la dimensión de Krull de $M$ está definido por $\dim (R/\operatorname{Ann}M)$.

Puedo entender la definición de un álgebra de una forma intuitiva, desde la definición de la cadena de primer ideales está de acuerdo con la trascendental grado.

Así que, ¿por qué dimensión de módulo de $M$ debe $\dim (R/\operatorname{Ann}M)$?

Por favor sensación libremente responder a mi pregunta. Gracias.

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Nir Puntos 136

Deje $M$ ser un finitely módulo generado más de $R$.
Su apoyo a $\operatorname{ supp}(M) \subset \operatorname {Spec}(R)$ es el conjunto de primer ideales $\mathfrak p$ de manera tal que el tallo $M_{\mathfrak p}$ satisface $M_{\mathfrak p}\neq 0$ o, equivalentemente, gracias a Nakayama, que la fibra $M_{\mathfrak p}\otimes _R\kappa (\mathfrak p)$$\neq 0$.

A continuación, es bastante razonable decir que la dimensión de $\operatorname{ supp}(M)$ es en cierta medida el tamaño de $M$, desde fuera de $\operatorname{ supp}(M)$ las fibras de $M$ son cero y en $\operatorname{ supp}(M)$ no son cero, por lo que en $\operatorname{ supp}(M)$ el módulo de $M$ se comporta un poco como un vector paquete (y asociada a la gavilla $\tilde M$ es un vector paquete si $M$ es proyectiva).

Entonces definimos $\operatorname {dim }(M) =\operatorname {dim}(\operatorname{ supp}(M))$.

Y ya que es fácil ver que $\operatorname{ supp}(M))=V(\operatorname{ Ann}M)$ llegamos a
$$ \operatorname {dim }(M) =\operatorname {dim}(\operatorname{ supp}(M))= \operatorname {dim}(V(\operatorname{ Ann}M))= \operatorname {dim}(A/\operatorname{ Ann}M) $$
Resumiendo, podríamos decir que la auténtica dimensión de $M$ $\operatorname {dim}(\operatorname{ supp}(M))$ y que la fórmula $\operatorname {dim}(M)=\operatorname {dim}(A/\operatorname{ Ann}M)$ es sólo un dispositivo técnico para la computación.

Editar
Me acaba de recordar que hay dos imágenes fantásticas de $M$ $\operatorname{ supp}(M)$ en miles Reid del Pregrado Álgebra Conmutativa: página 98 y a la derecha en el comienzo del libro, como un frontispicio.
Estas ilustraciones están entre los más inteligentes y útiles que he visto en un libro de matemáticas.

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