Deje $M$ ser un finitely módulo generado más de $R$.
Su apoyo a $\operatorname{ supp}(M) \subset \operatorname {Spec}(R)$ es el conjunto de primer ideales $\mathfrak p$ de manera tal que el tallo $M_{\mathfrak p}$ satisface $M_{\mathfrak p}\neq 0$ o, equivalentemente, gracias a Nakayama, que la fibra $M_{\mathfrak p}\otimes _R\kappa (\mathfrak p)$$\neq 0$.
A continuación, es bastante razonable decir que la dimensión de $\operatorname{ supp}(M)$ es en cierta medida el tamaño de $M$, desde fuera de $\operatorname{ supp}(M)$ las fibras de $M$ son cero y en $\operatorname{ supp}(M)$ no son cero, por lo que en $\operatorname{ supp}(M)$ el módulo de $M$ se comporta un poco como un vector paquete (y asociada a la gavilla $\tilde M$ es un vector paquete si $M$ es proyectiva).
Entonces definimos $\operatorname {dim }(M) =\operatorname {dim}(\operatorname{ supp}(M))$.
Y ya que es fácil ver que $\operatorname{ supp}(M))=V(\operatorname{ Ann}M)$ llegamos a
$$ \operatorname {dim }(M) =\operatorname {dim}(\operatorname{ supp}(M))= \operatorname {dim}(V(\operatorname{ Ann}M))= \operatorname {dim}(A/\operatorname{ Ann}M) $$
Resumiendo, podríamos decir que la auténtica dimensión de $M$ $\operatorname {dim}(\operatorname{ supp}(M))$ y que la fórmula $\operatorname {dim}(M)=\operatorname {dim}(A/\operatorname{ Ann}M)$ es sólo un dispositivo técnico para la computación.
Editar
Me acaba de recordar que hay dos imágenes fantásticas de $M$ $\operatorname{ supp}(M)$ en miles Reid del Pregrado Álgebra Conmutativa: página 98 y a la derecha en el comienzo del libro, como un frontispicio.
Estas ilustraciones están entre los más inteligentes y útiles que he visto en un libro de matemáticas.