Determinación de la inversa izquierda de una matriz no cuadrada

Question

Entiendo que las matrices no cuadradas no tienen inversa, es decir, tanto inversa izquierda como inversa derecha. Sin embargo, estoy bastante seguro de que es posible que una matriz no cuadrada tenga una inversa izquierda o (exclusivamente) una inversa derecha. Tomemos el ejemplo en el que, quiero determinar la matriz P para que,

$$P \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & i \\ 0 & 1+i \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ i \\ \end{array} \right]$$

Es evidente que $P$ debe ser un $3 \times 3$ ya que la matriz de columnas de la derecha es $3 \times 1$ . ¿Cómo puedo determinar lo que esta matriz $P$ la inversa izquierda de $\left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & i \\ 0 & 1+i \\ \end{array} \right]$ ¿Lo es? Los métodos estándar que conozco para invertir un $n \times n$ matriz (cuadrada) parece no funcionar.

Gracias, señor.

Answer 1

Sea $A$ ser un $n\times m$ matriz. Esta matriz representa una transformación lineal $L_A\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ . Una inversa a la izquierda correspondería a una transformación lineal $T\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ tal que $T\circ L_A = \mathrm{Id}_{\mathbb{R}^m}$ . Para que la composición sea la identidad, es necesario que $L_A$ sean uno a uno; en particular, necesitamos que $m\leq n$ y para $A$ ser de rango completo.

Una inversa directa correspondería a una transformación lineal $U\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ tal que $L_A\circ U=\mathrm{Id}_{\mathbb{R}^n}$ . Para que la composición sea la identidad, necesitamos $L_A$ en particular, necesitamos $m\geq n$ y para $A$ ser de rango completo.

En otras palabras, una condición necesaria para $A$ para tener una inversa unilateral es que sea de rango completo (es decir, $\mathrm{rank}(A)=\min(n,m)$ ).

De hecho, la condición también es suficiente:

Supongamos en primer lugar que $n\leq m$ y $\mathrm{rank}(A)=n$ . Entonces $L_A$ es onto, por lo que $A\mathbf{e}_1,\ldots,A\mathbf{e}_m$ span $\mathbb{R}^n$ así que reducimos el conjunto a una base. Si $i_1\lt\cdots\lt i_n$ son tales que $A\mathbf{e}_{i_j}$ son una base para $\mathbb{R}^n$ defina $U\colon\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ por $U(A(\mathbf{e}_{i_j})) = \mathbf{e}_{i_j}$ y se extienden linealmente. Dado que el $A\mathbf{e}_{i_j}$ son una base, esto se puede hacer y define $U$ de forma única; claramente, $L_A\circ U=I_{\mathbb{R}^n}$ calculando la matriz de coordenadas de $U$ en relación con la base estándar de $\mathbb{R}^n$ da una inversa directa para $A$ .

A continuación, supongamos que $n\geq m$ y $\mathrm{rank}(A)=m$ . Entonces $A$ es uno a uno, por lo que $A\mathbf{e}_1,\ldots, A\mathbf{e}_m$ son linealmente independientes. Completa una base para $\mathbb{R}^n$ , $A\mathbf{e}_1,\ldots,A\mathbf{e}_m,\mathbf{w}_{m+1},\ldots,\mathbf{w}_n$ y defina $T\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ por $T(A\mathbf{e}_i)=\mathbf{e}_i$ y $T(\mathbf{w}_j)$ arbitraria (digamos, $\mathbf{0}$ ). Entonces $T\circ L_A=I_{\mathbb{R}^m}$ calculando la matriz de coordenadas de $T$ en relación con la base estándar de $\mathbb{R}^n$ da una inversa izquierda para $A$ .

Obsérvese, además, que si $n\neq m$ entonces hay muchos diferentes inversos unilaterales para $A$ (cuando $A$ tiene rango completo); por lo que no se debe hablar de "la" inversa izquierda (o derecha) de $A$ .

Answer 2

Puedes buscar "pseudoinverso de Moore-Penrose".