Cassels y Fröhlich es todavía la mejor referencia para los conceptos básicos del Campo de la Clase de Teoría, en mi opinión. Cox libro, recomendado por lhf, es también un buen lugar para conseguir la motivación, el bagaje histórico y cultural, y una visión general de la teoría.
También el artículo ¿Qué es una ley de la reciprocidad por Wyman es una guía útil.
El punto clave a entender es que hay dos a priori bastante nociones diferentes:
campos de la clase, que son extensiones de Galois de número de campos que se caracteriza por el hecho de que los números primos en el campo de tierra de división en la extensión, siempre que admitir generadores de satisfacer ciertas congruencia condiciones (por ejemplo, la extensión de $\mathbb Q(\zeta_n)$$\mathbb Q$, en el que un primer $p$ se divide por completo si y sólo si es $\equiv 1 \bmod n$); y abelian extensiones, es decir, extensiones de Galois de los campos de número con abelian grupo de Galois (por ejemplo, la extensión de $\mathbb Q(\zeta_n)$ de $\mathbb Q$, cuyo grupo de Galois sobre $\mathbb Q$ es isomorfo a $(\mathbb Z/n)^{\times}$).
El resultado principal de la clase de teoría de campo es que estas dos clases de extensiones de coincidir (como el ejemplo de $\mathbb Q(\zeta_n)$ $\mathbb Q$ de la muestra).
Este hecho fundamental se puede conseguir un poco perdido en el debate de la Artin mapa, idèles, Galois cohomology, y así sucesivamente, y por lo tanto es bueno tener en mente desde el principio, y a considerar todo el material que se aprende en la luz de este hecho.
Como para una más general mapa de carreteras, que es un poco demasiado para una pregunta, pero usted puede mirar esta guía MO para el aprendizaje de representaciones de Galois.
