Estoy leyendo G. Graetzer del Entramado de la Teoría: en Primer lugar los Conceptos y Distributiva, Celosías y trabajando en sus ejercicios. Uno de ellos es demostrar $(A, \subset)$ donde $A$ es el conjunto de finitely generado subgrupos de un grupo de $G$, es una combinación-semilattice, pero no necesariamente una celosía. Me resultó ser el ex de la mitad, pero no puedo pensar de un contraejemplo para la segunda mitad, en parte porque no estoy familiarizado a la teoría de grupos. ¿Qué es un simple ejemplo de un grupo cuyo finitely generado subgrupos' intersección no es finitely generado?
Respuestas
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$F_2\times \mathbb{Z}\cong \langle a, b, c; [a, c], [b, c]\rangle$ obras.
Deje $P:=\langle a, bc\rangle$$Q:=\langle a, b\rangle$. A continuación,$P\cap Q=\langle b^iab^{-i}:i\in\mathbb{Z}\rangle$, que es un grupo libre como subgrupos de libre grupos son gratis. Por lo tanto, es claramente infinitamente generado. Escribir $R:=\langle b^iab^{-i}:i\in\mathbb{Z}\rangle$.
A ver que $P\cap Q$ es esto, tenga en cuenta que$b^iab^{-i}=b^ic^iac^{-i}b^{-i}=(bc)^ia(bc)^{-i}$, por lo que estos generadores de generar un subgrupo de la intersección ($R\leq P\cap Q$), mientras se toma una palabra, $W(a, bc)$ decir $W(a, bc)=W(a, b)c^x$ donde $x$ es el exponente de la suma de $b$$W(a, b)$. Por lo tanto, si $W(a, b)\in P\cap Q$ debemos tener ese $W$ ha exponente de suma cero en $b$, y por lo $W(a, b)\in R$. Por lo tanto, $P\cap Q\leq R$. Por lo tanto, $P\cap Q=R$ como se requiere.
Esta prueba es de una ponencia de D. I. Moldavanskii, titulado "la Intersección de finitely generado subgrupos", de 1968.
Chris McKee
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La pregunta estaba pidiendo, también, para mostrar que el poset $A$ de finitely generado subgrupos de un grupo de $G$, ordenados por inclusión, no es un conocer-semilattice en general.
En el ejemplo de user1729 con $G=F_2\times \mathbb{Z}$, el poset $A$ contiene el finitely generado subgrupos $P$ $Q$ de $G$. $P$ y $Q$ no tiene un conocer (= mayor límite inferior) en $A$.
De hecho, el conjunto de las cotas inferiores de a $P$ $Q$ $A$ es el conjunto de finitely generado subgrupos de $R=P\cap Q$. Pero $R$ es un grupo libre en una contables conjunto de generadores, decir $R=\langle z_1,z_2,...\rangle$. Cada palabra en los generadores sólo hace uso de un número finito de generadores, por lo que está contenido en $\langle z_1,...,z_m\rangle$ algunos $m$. Así que cada finitely generado subgrupo de $R$ es en algunas de las $\langle z_1,...,z_m\rangle$, y siempre podemos encontrar un sentido estrictamente mayor subgrupo $\langle z_1,...,z_{m+1}\rangle$$A$. Así que el conjunto de cotas inferiores de a $P$ $Q$ no tiene un mayor elemento.
