¿Cuál es la probabilidad de que un elegido al azar monic polinomio de grado mayor $n$ $\mathbb{F}_p[x]$ es irreducible? Podemos interpretar esta probabilidad como $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{N_p(n)}{p^n},$ donde $$N_p(n)=\frac{1}{n}\sum_{d|n}p^d\mu\left(\frac{n}{d}\right)$$ is the number of monic irreducibles of degree $n$ in $\mathbb{F}_p[x]$. Estoy teniendo problemas para ver cómo uno podría ir sobre la evaluación de/que describe el comportamiento asintótico de este límite, cualquier ayuda es muy apreciada.
Respuesta
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El límite será igual a cero debido a que el factor de $\frac{1}{n}.$ Aviso que $$\sum_{d|n} p^n\mu\left(\frac{n}{d}\right)=p^n+O\left(np^{n/2}\right),$$ since there are at most $n$ additional terms, each of which is at most $p^{n/2}$ in size. Thus $$\frac{nN_p(n)}{p^{n}}=1+O\left(n^2p^{-n/2}\right),$$ lo que implica que
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{nN_p(n)}{p^{n}}=1.$$
Esta es la versión del teorema de los números primos para finitos campos, y como se puede ver, es mucho más fácil de probar que el PNT para los enteros.
Alternativo prueba de que $N_p(n)/p^n\rightarrow 0$: Como $|\mu(d)|\leq 1$, tenemos el crudo límite superior $$N_p(n)\leq \frac{1}{n}\left(1+p+p^2+\cdots +p^n\right)\leq \frac{1}{n}\cdot \left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}p^n.$$ From this it follows that $$\frac{N_p(n)}{p^n}\leq \frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1},$$ and so the limit is $0$.
