Probar o encontrar contraejemplos.
Deje $X$ ser un conjunto infinito y $T$ ser una topología en $X$. Si $T$ contiene cada subconjunto infinito de $X$, $T$ es la topología discreta.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Lockie
Puntos
636
Supongamos que $X$ es un conjunto amorfo, en el cofinite topología. Por la naturaleza amorfa de $X$, cada subconjunto infinito de $X$ tiene un número finito de complemento, por lo que cada subconjunto infinito de $X$ está abierto. De esta manera, los subconjuntos de a $X$ son precisamente el conjunto vacío, $X$, y el infinito adecuada subconjuntos de a $X$. Sin embargo, esto no es discreto, como (por ejemplo) no singleton subconjunto de $X$ está abierto.
Ahora bien, si tenemos suficientes opciones para que no hay ningún amorfo conjuntos, luego de Austin enfoque es el camino a seguir para una prueba. De lo contrario, lo anterior sirve como contraejemplo.
Comentario: yo no pretendo que esto sea una "competencia" responder con Austin. Yo sólo pretende dilucidar por qué me trajo hasta el Axioma de elección y por qué entonces él se sintió obligado a hacer mención de él en su respuesta. Él respondió antes que yo, es una buena respuesta, y no pre-especificar la cantidad (si alguna) Opción que usted está utilizando. Si te gusta la mina, siéntase libre de upvote, pero si usted está debatiendo cuál de nuestras respuestas a aceptar, vaya con los de él.
Supongamos $T$ es una topología que contiene todos los infinitos subconjuntos de a $X$. Yo reclamo cada subconjunto finito también pertenece a $T$, y por lo $T$ es la topología discreta.
Para ver esto, vamos a $A$ ser cualquier subconjunto finito de $X$. Desde $X$ es infinito, $X \setminus A$ es infinito. Partición de $X \setminus A$ en dos distintos infinitos subconjuntos $Y_1$ $Y_2$ (esto siempre se puede hacer si el Axioma de Elección se supone).
Ahora, $Y_1 \cup A$ $Y_2 \cup A$ son ambos conjuntos infinitos, por lo que pertenecen a $T$. Por otra parte, su intersección es, precisamente,$A$. Desde las topologías son cerrados bajo finito de intersección, debe ser el caso que $A$ pertenece a $T$. Desde $A$ fue arbitraria conjunto finito, el reclamo de la siguiente manera.
