El determinante de una Especial Simétrica Matriz

Question

Si $A$ es un symmatric matriz de orden impar con el entero de las entradas y las entradas de la diagonal $0$ a continuación, $A$ tiene valor determinante incluso.

Puedo probar el resultado si me puede demostrar que los valores propios de a $A$ son enteros,pero soy incapaz de hacer eso. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Según lo sugerido por @Grigory M he puesto esto como una respuesta :

Una es congruente modulo 2 a un sesgo de simetría de la matriz y una matriz antisimétrica de extraño tiene el tamaño de un cero determinante.

Answer 2

Sugerencia. $\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{i\sigma(i)}$. Partición de $S_n$ en tres mutuamente disjuntas subconjuntos. El primer subconjunto contiene los permutaciones que tiene algunos puntos fijos. Las permutaciones en el segundo subconjunto son los inversos de las permutaciones en la tercera.

Answer 3

Para ampliar user1551 de la pista, utilizando la fórmula $$ \det a = \sum_{\sigma \en S_n} {\operatorname{sgn} \sigma} \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)} $$

• Para cualquier permutación $\sigma \in S_n$, la inversa de la permutación $\sigma^{-1}$ tiene el mismo signo de $\sigma$. Además, dado que la matriz es simétrica, se puede concluir que el $\sigma$ $\sigma^{-1}$ cada contribuyen con el mismo valor para el factor determinante, si son distintas.

• Permutaciones tal que $\sigma = \sigma^{-1}$ son producto de distintos transposiciones. Desde $n$ es impar, ¿qué podemos concluir acerca de la contribución de tales permutaciones para el factor determinante?

Answer 4

Más en general, vamos a $R$ ser un anillo conmutativo con unidad y con la característica $2$. Si $A\in M_{2k+1}(R)$ es simétrica o sesgar-simétrica con $0$ diagonal, a continuación,$\det(A)=0$. Me dio un bosquejo de una prueba en la Impar-dimensional sesgo de simetría de la matriz es singular, incluso en un campo de característica 2. Curiosamente user1551 dio también una respuesta. Tenga en cuenta que podemos discutir acerca de la definición de un sesgo de simetría de la matriz en el carácter $2$ ; el concepto no tiene ningún interés si no requerimos que la diagonal debe ser $0$. Por lo tanto es conveniente agregar esta condición en la definición.

Por lo tanto suponer que $R$ es cualquier anillo conmutativo con unidad, con el característico) y$A=[a_{i,j}]\in M_{2k+1}(R)$$a_{i,j}=-a_{j,i},a_{i,i}=0$. Trabajamos en el anillo de polinomios $\mathbb{Z}[(a_{i,j})_{i,j}]$ en el indeterminates $(a_{i,j})$. Este anillo no tiene ningún cero divisores, es factorial y su característica es $0$. Claramente $\det(A)\in\mathbb{Z}[(a_{i,j})_{i,j}]$ $0$ (FORMALMENTE $0$). El factor determinante que consideramos que es una evaluación en $R$ y, en consecuencia, es $0$.

Tenga en cuenta que $\mathbb{Z}[(a_{i,j})_{i,j}]$ es también un integralmente anillo cerrado. Esta es una clave para mostrar que, si $A\in M_{2k}(R)$, $\det(A)$ es el cuadrado de un elemento de $R$.