Cómo evaluar $ \int_0^\infty {1 \over x^x}dx$ en términos de la suma de la serie?

Question

Es allí una manera de representar esta integral en términos de la suma de la serie? $$ \int_0^\infty {1 \over x^x}dx$$ Como por ejemplo: $$ \int_0^1 {1 \over x^x}dx = \sum_{n=1}^\infty {1 \over n^n}$$ No estoy recibiendo una respuesta de Mathematica.

Answer 1

Un largo comentario (no respuesta)

Dividir la integración de la región, y el uso de la estudiante de Segundo año del sueño: $$ \int_0^\infty \frac{\mathrm{d} x}{x^x} = \int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x^x} + \int_1^\infty \frac{\mathrm{d} x}{x^x} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} + \int_1^\infty \frac{\mathrm{d} x}{x^x} $$ Debido a $x^{-x}$ es estrictamente decreciente para $x\geqslant 1$, tenemos $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} > \int_1^\infty \frac{\mathrm{d} x}{x^x} > \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)^{n+1}} = -1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} $$ Puesto que el $x^{-x}$ es estrictamente convexa de la función de $x \geqslant 1$, lo que $$ \int_1^\infty x^{-x} \mathrm{d} x = \sum_{n=1}^\infty \int_0^{1} (n+y)^{-n-y} \mathrm{d} y < \\ \sum_{n=1}^\infty \int_0^{1} \left(n^{-n}(1-y) + (n+1)^{n-1} y \right) \mathrm{d} y = -\frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} $$ Por lo tanto, estableció que $$ -\frac{1}{2} + 2 \int_0^1 x^{-x} \mathrm{d} x > \int_0^\infty x^{-x} \mathrm{d}x > -1 + 2 \int_0^1 x^{-x} \mathrm{d} x $$ Numérico de confirmación:

Answer 2

Para la integral de $0$ a (finito) $R$ I obtener una suma doble:

$$\int _{0}^{R}\!{x}^{-x}{dx}=\sum _{k=1}^{\infty } \sum _{j=0}^{ k-1}{\frac { \left( -1 \right) ^{j}{R}^{k} \left( \ln \left( R \right) \right) ^{j}}{j!\,{k}^{k-j}}} $$

El interior de la suma podría ser escrito utilizando una función Gamma incompleta, por lo que:

$$\int_0^R x^{-x}\ dx = \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Gamma \left( k,-\ln \left( R \right) k \right) {k}^{-k}}{\Gamma \left( k \right) }} $$

No veo una manera de tomar el límite de $R \to \infty$ a la derecha, a pesar de que: cada término se bifurca.