Hay 11 redes no congruentes de un cubo así como 11 redes distintas de un octaedro. Tanto un dodecaedro como un icosaedro tienen 43380 redes distintas.
¿Es cierto que cualquier par de poliedros convexos duales siempre tienen el mismo número de redes distintas (olvidemos las autointersecciones por simplicidad)? Creo que debería haber alguna prueba simple.
No estoy seguro de cómo definir una red en general, pero si ignoramos la auto intersección, una red debería corresponder a una elección de aristas que se cortan, de modo que las caras sigan conectadas, pero no haya círculos (lo cual impediría el aplanamiento de la red).
Entonces, si considero al poliedro como un grafo, una red es una elección de aristas = aristas duales a eliminar, de modo que el grafo dual se convierte en un árbol. Así que creo que estás viendo árboles de expansión de grafos y sus duales.
Y el complemento de las aristas de un árbol de expansión visto como aristas duales forma un árbol de expansión del grafo dual, por lo que su número es igual.
(En particular, si consideras las aristas correspondientes del cubo y la octaedro, cada red del cubo corresponde a una red del octaedro donde se han cortado exactamente aquellas aristas que no se han cortado en el cubo.)
Al principio, no podía entender la relevancia de la respuesta de Joseph Malkevitch. Sin embargo, después de investigar, creo que entiendo a qué se refería.
La respuesta de Phira es correcta: Las redes corresponden a árboles de expansión en el grafo vértice-arista del poliedro $P$, y cada árbol de expansión $T$ está emparejado con un árbol de expansión $T^*$ en el grafo dual. Los nodos del grafo dual son las caras de $P$, y $T^*$ tiene aristas que cruzan cada arista de $P$ que NO está en $T$.
Esto establece una correspondencia biunívoca entre las redes para $P$ y las redes para $P^*$. Además, dado que $P$ y $P^*$ tienen el mismo grupo de simetría, las mismas operaciones de simetría que crean una clase de congruencia de redes para $P$ también crean una clase de congruencia de redes para $P^*$. Por lo tanto, generalmente hay el mismo número de redes no congruentes para un poliedro y su dual.
Sin embargo, es posible tener dos redes que sean congruentes "por coincidencia", y no debido a ninguna simetría del poliedro fuente. En este caso, las redes correspondientes para el poliedro dual pueden no ser congruentes.
Un ejemplo ocurre con el prisma triangular y su dual, la bipirámide triangular. El prisma tiene 9 redes no congruentes; la bipirámide tiene solo 8.
Aquí están todas las redes, emparejadas:
Puedes ver que las redes 5 y 9 de la bipirámide triangular son congruentes, incluso aunque corresponden a redes no congruentes para el prisma.
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