Demuestra que no hay mensajes ocultos en Pi

Question

Supongamos que existiera una prueba de que pi es normal.

¿Es entonces posible que, comenzando en una posición finita x en pi, a partir de ahí cada dígito p(n)-ésimo sea 0, donde p(n) es el enésimo número primo?

Sé que los argumentos de probabilidad dicen que no, pero ¿acaso también lo prueban como imposible?

¿Hay alguna manera de refutar la afirmación?

Además, los dígitos de Pi pueden revelarnos ciertas verdades matemáticas, por ejemplo, que la circunferencia de un círculo es menor que la de cualquier otra forma con la misma área.

La pregunta es, ¿hay un límite para la información que se puede extraer de los dígitos de Pi? ¿Es posible reconstruir todos los teoremas a partir de los dígitos de Pi? ¿Qué tipo de verdades se pueden extraer de los dígitos de Pi? ¿Está toda las matemáticas y todas las verdades de alguna manera codificadas dentro de los dígitos de Pi?

Answer 1

Si $\pi$ es normal, entonces de hecho no solo $\pi$ tiene mensajes secretos, sino que contendrá en sus dígitos cada posible mensaje finito infinitamente a menudo! Esto se debe simplemente a que es parte del significado de número normal que cada secuencia finita aparezca con la densidad esperada. Y por lo tanto, en particular, cada número normal contendrá bloques largos de dígitos que expresan exactamente las obras completas de William Shakespeare, y también versiones con las obras traducidas (y mal traducidas) a cada otro idioma, de todas las posibles maneras, y así sucesivamente.

De hecho, cualquier número normal contendrá en él todos los teoremas de matemáticas, con demostraciones completamente correctas (así como con demostraciones falsas, en todas las posibles maneras).

Pero por supuesto, es por esto por lo que preguntaste sobre la codificación en un conjunto infinito, preguntando por una especie de propiedad de regularidad infinitaria. Dejando de lado la pregunta particular sobre los primos, consideremos tu última pregunta: ¿hay un límite para la cantidad de información que podemos extraer de $\pi$?

Para esto, la respuesta es sí, hay un límite, si planteamos el problema con un significado particular de lo que debería significar extraer información. La razón es que $\pi$ es un número computable; hay un procedimiento computable que nos dirá el $n$-ésimo dígito. Así, cualquier procedimiento que extraiga información de $\pi$ mediante un procedimiento computable que inspeccione los dígitos será necesariamente totalmente computable. Entonces, por ejemplo, no puede haber un procedimiento computable que extraiga información de $\pi$ para responder sí o no a la pregunta de si un programa dado de máquina de Turing se detiene, ya que el problema de detención no es decidible.

Más generalmente, solo hay contablemente muchos conjuntos que son computables a partir de cualquier número real dado, sin importar la complejidad de ese real (ya que solo hay contablemente muchos programas), y por lo tanto hay un sentido robusto en el que la mayoría de los conjuntos de números naturales no son reducibles a $\pi$ o a cualquier otro número real fijo de esta manera.

Por último, aparte de $\pi$, parece que hay números normales $z$ que tienen la propiedad de que el $p(n)$-ésimo dígito de $z$ es $0$, donde $p(n)$ es el $n$-ésimo número primo. Dado que los números primos tienen una densidad asintótica de $0$, entonces a menos que esté equivocado, parece que simplemente podríamos colocar $0$ en los dígitos primos y elegir el resto de los dígitos al azar, para llegar a un número normal que exhiba tu propiedad.

Answer 2

(este es un comentario muy largo)

Estás describiendo un conjunto $S$ de números, aquellos para los cuales hay un $k$ con el dígito $(k+p)$-ésimo igual a 0 cuando p es un número primo, y preguntando si $\pi\in S$. (El problema no cambia fundamentalmente si fijas una base b o permites cualquier base).

No sabemos mucho sobre el conjunto $S$. Los métodos finitos son inútiles, ya que por suposición $\pi$ ya contiene segmentos finitos arbitrariamente largos que coinciden con esta descripción (así como la Declaración de Independencia y este post).

Desafortunadamente, $S$ es un personaje complicado. Es denso en los reales, por lo que no podemos separar $\pi$ de sus miembros por un $\varepsilon$. Es incontable, así que no podemos usar algo como el teorema de Roth para separarlo de $\pi$. Realmente no tenemos métodos para trabajar en este tipo de problemas.

Answer 3

Este es más un comentario informativo que una respuesta directa a tu pregunta. (Más tarde) Justo antes de enviar esta respuesta, me di cuenta de que la pregunta y la actividad son de hace casi un año atrás!

La propiedad que estás describiendo es compartida por casi todos los números reales tanto en el sentido de la categoría de Baire como en el sentido de la medida de Lebesgue. De hecho, su complemento es aún más pequeño que de primera categoría-y-medida-nula, siendo una unión contable de conjuntos porosos más bajos. Ten en cuenta que hay una gran diferencia entre la noción de un número normal (a base $10$) y la propiedad de la que estás hablando, ya que el conjunto de números normales es grande en un sentido (medida de Lebesgue) pero pequeño en otro sentido (categoría de Baire), mientras que el conjunto del que estás hablando (a veces llamado los números reales "absolutamente disyuntivos", para el cual puedes buscar la frase que puse entre comillas) es grande tanto en el sentido de la medida de Lebesgue como en el sentido de la categoría de Baire (y, de hecho, aún más grande que lo que la conjunción de estas dos nociones podría permitir). Para más detalles, consulta mi publicación de sci.math del 19 de febrero de 2003 en

http://groups.google.com/group/sci.math/msg/4ec315328c1afdb8

Un extracto de la publicación anterior:

Disyuntivo a base $b$ ($b$ siendo un entero mayor que $1$) significa que cada palabra finita de $b$ aparece infinitamente a menudo en la expansión b-aria del número (nota que esto es equivalente a cada palabra finita de b apareciendo al menos una vez), y el adjetivo "absolutamente" significa que esta propiedad se cumple para cada $b = 2,\; 3,\; ...$ El resultado es virtualmente inmediato [todos menos un conjunto $\sigma$-poroso de números reales son absolutamente disyuntivos], ya que para cada una de las innumerables formas de elegir un $b$ fijo y una palabra de $b$ fija, la colección de números cuyas expansiones en $b$ no contienen esa palabra de $b$ infinitamente a menudo es un conjunto de Cantor uniforme, y por lo tanto, es poroso (incluso uniformemente poroso; de hecho, incluso uniformemente para el tipo de porosidad lim-inf más fuerte que usan los teóricos del conjunto de Julia). Recuerda que la colección más grande de números que no son absolutamente normales (o que no son simplemente normales en relación a una base específica) forma un conjunto co-mensual de medida cero (pero con dimensión de Hausdorff $1$).

Answer 4

La afirmación no es clara. ¿Dices "a partir de ahí, cada dígito p(n)-ésimo es 0, donde p(n) es el n-ésimo número primo" pero, ¿qué es n? Si quieres decir que esto se cumple para cada n, entonces es fácil de refutar: si cada segundo dígito después de eso, y también cada tercer, quinto, séptimo, etc. dígito después de eso es cero, entonces todos los dígitos excepto el primero después de eso son cero. (Aplicas la criba de Eratóstenes pero también tachas el primer múltiplo de cada primo, es decir, ni siquiera los primos que suelen sobrevivir a este proceso, sobrevivirían al tuyo). Eso significaría que es racional, lo cual sabemos que es incorrecto.