A pesar de que mi respuesta va a ningún lugar se acercan al nivel de sofisticación matemática de las otras respuestas, he decidido publicar esto, porque creo que tiene algo que aportar -a pesar de que el resultado será "negativo", como dicen.
En un tono ligero, yo diría que el OP es la "aversión al riesgo", (como la mayoría de las personas, así como la ciencia misma), porque el OP requiere de una suficiente condición para el 2do orden expansión en series de Taylor aproximación a "aceptable". Pero no es una condición necesaria.
En primer lugar, una condición necesaria pero no suficiente pre-requisito para el valor esperado de que el Resto de orden menor que la varianza de la r.v., como el OP requiere, es que la serie converge en el primer lugar. Debemos asumir la convergencia? No.
La expresión general examinamos es
$$ E\Big[g(Y)\Big] = \int_{-\infty}^{\infty}f_Y(y)\Big[\sum_{i=0}^{\infty}g^{(i)}(\mu)\frac{(y-\mu)^i}{i!}\Grande]dy \qquad [1]$$
Como Loistl (1976) estados de referencia Gemignani del "Cálculo y Estadística" libro (1978, pág. 170), una condición para la convergencia de la suma es infinita (una aplicación de la prueba de razón de convergencia)
$$y-\mu < |y-\mu|<\lim_{i\rightarrow \infty}\left | \left(\frac {g^{(i)}(\mu)}{g^{(i+1)}(\mu)}(i+1)\right)\right| \qquad [2]$$
...donde $\mu$ es la media de las r.v. Aunque esto también es una condición suficiente (la proporción de la prueba no es concluyente si la relación se mantiene con la igualdad), la serie diverge si la desigualdad se cumple en la otra dirección.
Loistl examinado tres formas funcionales para $g()$, la exponencial, el poder, y el logaritmo (su papel en el campo de la Utilidad Esperada y la Cartera de Elección, por lo que puso a prueba el estándar de las formas funcionales utilizadas para representar una función de utilidad cóncava). Para estas formas funcionales, encontró que sólo por la exponencial de la forma funcional no hay restricciones en $y-\mu$ que se impuso. Por el contrario, para el poder, y para el logarítmica caso (donde ya tenemos $0 <y$), nos encontramos con que la validez de la desigualdad de dólares[2]$ es equivalente a
$$y-\mu < \mu \Rightarrow 0 < y < 2\mu$$
Esto significa que si nuestra variable varía fuera de este rango, la expansión de Taylor, teniendo como centro de expansión de la variable significa que van a divergir.
Así: para algunas formas funcionales, el valor de una función en algún punto de su dominio es igual a su infinita expansión de Taylor, no importa lo lejos que este punto es el de la expansión del centro. Para otras formas funcionales (logaritmo incluido), el punto de interés debe estar un poco "cerrar" para el centro elegido de expansión. En el caso de que tenemos una r.v., esto se traduce en una restricción en el soporte teórico de la variable (o un examen de su estudio empírico de la gama).
Loitl, mediante ejemplos numéricos, mostró también que al aumentar el orden de la expansión antes de truncamiento podría empeorar la situación por la exactitud de la aproximación. Debemos señalar que, empíricamente, de series de tiempo de las variables observadas en el sector financiero hacer exhiben variabilidad mayor que la requerida por la desigualdad. Así Loitl pasó a defender el hecho de que la serie de Taylor aproximación a la metodología debe ser desechado totalmente, con respecto a la Cartera de Teoría de la Elección.
El rebote llegó a 18 años después de Hlawitschka (1994). La información valiosa y el resultado fue, y cito
...a pesar de una serie en última instancia, puede
convergen, poco se puede decir acerca de cualquier
de sus parcial de la serie, la convergencia de una serie
no implica que los términos de inmediato
disminución en el tamaño o que de cualquier término en particular
es lo suficientemente pequeño como para ser ignorado. De hecho,
es posible, como se ha demostrado aquí, que un
la serie puede parecer que divergen en última instancia, antes de
la convergencia en el límite. La calidad
de momento aproximaciones a la utilidad esperada
que están basadas en el primer par de términos
de una serie de Taylor, por lo tanto, no puede ser determinado
por las propiedades de convergencia de
la serie infinita. Esta es una cuestión empírica,
y empíricamente, dos-momento de aproximaciones a la utilidad de las funciones estudiadas aquí
realizar bien la tarea de selección de cartera. Hlawitschka (1994)
Por ejemplo, Hlawitschka mostró que el 2do orden aproximación fue "exitoso" si la serie de Taylor convergente o no, pero él también se verificó Lotl del resultado, que al aumentar el orden de la aproximación puede hacer que sea peor. Pero hay un calificador de este éxito: En la Cartera de Elección, la Utilidad Esperada se utiliza para el rango de valores mobiliarios y otros productos financieros. Es un ordinal medida que no se cardenal. Entonces, ¿qué Hlawitschka encontrado es que la 2ª orden de aproximación conserva la clasificación de los diferentes valores, en comparación con la clasificación derivada del valor exacto de $E(g(Y)$, y no que siempre dieron resultados cuantitativos que donde lo suficientemente cerca de este valor exacto (ver su cuadro A1 p. 718).
Entonces, ¿dónde nos deja? En el limbo, diría yo. Parece que tanto en la teoría y en el empirismo, la aceptabilidad de la 2ª orden Taylor aproximación depende, fundamentalmente, en muchos y diferentes aspectos del fenómeno específico bajo estudio y de la metodología científica empleada -que depende de las suposiciones teóricas, en las formas funcionales utilizadas, en la variabilidad observada de la serie...
Pero vamos a terminar esto de manera positiva: hoy en día, la energía de la computadora sustituye a un montón de cosas. Así, se podría simular y probar la validez de la 2ª orden de aproximación, para una amplia gama de valores de la variable barato, si trabajamos en un teórico o empírico en el problema.
