Los lazos entre álgebras de Lie y el anillo de la teoría de la

Question

Me gustaría obtener un conocimiento general acerca de la relación entre la (no conmutativa) anillo de la teoría y la Mentira álgebra teoría. Todas las álgebras de Lie son finito dimensionales y sobre un campo $k$ de los característicos $0$ (algebraicamente cerrado si es necesario). Todos los anillos son asociativos y se unital. Álgebras de Lie se llamará $L$ y anillos de $R$. Lo que yo sé de ambos he aprendido en Humphrey's Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación y de Lam Un primer curso en no conmutativa anillos. Me disculpo de antemano por el desastre, y la vaguedad de la pregunta. Me auto de estudiar estos temas y se dan cuenta de que hay conexiones, pero es un lío en mi cabeza...

Lam me dice Wedderburn tratado de recrear Cartan de la teoría y fue lo que llevó a definir los radicales para los anillos, por lo que el álgebra de la Mentira radical es anterior a la de Wedderburn y Jacobson radical en el anillo de la teoría.

Cada Mentira álgebra tiene su universal que envuelve álgebra $U(L)$, de tal manera que las representaciones de $L$ son la misma cosa, como $U(L)$-módulos. También cada anillo tiene una Mentira álgebra estructura. Editar por Lo tanto, a través de la envolvente de álgebra de Lie y álgebras de sus representaciones pueden ser estudiados a partir de un anillo teórica punto de vista. Es a la inversa cierto en algún sentido?

Ambas teorías tienen los radicales, los conceptos de simplicidad y semisimplicity. Ambos tienen la estructura de teoremas para semisimple los objetos y sus representaciones : es el Artin-Wedderburn teoría de semisimple anillos y simple artinian anillos, y completa reducibilidad de los módulos, por un lado, y ahí está la raíz del espacio de descomposición para semisimple álgebras de Lie y no tan trivial teorema de Weyl en completa reducibilidad de finito representaciones tridimensionales de semisimple álgebras de Lie.

Lo que me gustaría saber es cómo estas nociones interactuar, por ejemplo, ¿qué relación hay entre el álgebra de la Mentira radical y el Jacobson radical de su envolvente de álgebra? ¿Qué tipo de anillo es $U(L)$? No puede ser semisimple creo porque es infinito dimensional, pero no obstante es casi verifica los criterios de completa reducibilidad de sus representaciones a través del teorema de Weyl... ¿Qué es el anillo de la teoría de la universal que envuelve el álgebra? Una referencia que explica los lazos de bienvenida también!

Gracias por su tiempo!

Answer 1

¿Qué tipo de anillo es $U(L)$?

Desde las representaciones de álgebras de Lie se comportan como las representaciones de los grupos (la categoría ha tensor de productos y duales, por ejemplo), usted debe esperar que el universal que envuelve álgebra $U(\mathfrak{g})$ tiene algún extra estructura que hace que esta, y lo que hace: es decir, es un álgebra de Hopf (una estructura compartida por el grupo de álgebras). El comultiplication se define sobre la base de los elementos de $x \in \mathfrak{g}$ por $$x \mapsto 1 \otimes x + x \otimes 1$$

(esto es necesario para que exponentiate a la habitual comultiplication $g \mapsto g \otimes g$ sobre álgebras de grupo) y el antípoda está definido por $$x \mapsto -x$$

(una vez más necesario exponentiate a la habitual antípoda $g \mapsto g^{-1}$ sobre álgebras de grupo).

Esta es una observación importante en la teoría de los grupos cuánticos, entre otras cosas.

Así, a través de la emboa álgebra de Lie y álgebras de sus representaciones cn ser estudiado a partir de un anillo teórica punto de vista. Es el cconverse cierto en algún sentido?

No en el sentido ingenuo, el problema básico es que, si $A$ es un álgebra y $L(A)$ ese mismo álgebra considerado como una Mentira álgebra bajo el soporte de la $[a, b] = ab - ba$, a continuación, una representación de $L(A)$ no en general se extienden a una representación de $A$, pero a una representación de la $U(L(A))$, lo que puede ser muy diferente de álgebra (tomemos, por ejemplo,$A = \text{End}(\mathbb{C}^2)$).

Por supuesto, existen otras relaciones entre el anillo de la teoría y la Mentira de la teoría. Por ejemplo, si $A$ $k$- álgebra, a continuación,$\text{Der}_k(A)$, el espacio de $k$-lineal derivaciones de $A$, naturalmente, forma un álgebra de la Mentira bajo el colector de soporte. A grandes rasgos esta es la "Mentira álgebra de $\text{Aut}(A)$" en un camino que se hace preciso, por ejemplo, en esta entrada del blog.