Elegante Sumas Trigonométricas

Question

Mientras que el estudio de caracteres de un campo finito y el Poli-Vinogradov la desigualdad, he encontrado algunos buenos identidades (verificado por simulaciones) que no estoy seguro de cómo probar. Ellos parecen estar relacionados con la Chebyshev de polinomios de segundo tipo.

Las identidades son:

$$ \sum_{a=1}^{q-1} \left( \frac{\sin (\frac{\pi N a}{q})}{\sin (\frac{\pi a}{q})}\right)^2 = N(q-N) \tag{1}$$

$$ \sum_{a=1}^{q-1} (-1)^a \frac{\sin (\frac{\pi N a}{q})}{\sin (\frac{\pi a}{q})} = -N \cdot 1_{N+q \equiv 1 \mod 2}\tag{2}$$

Otra función que me interesa es la siguiente:

$$ f(N,q,c) = \sum_{a=1}^{q-1} (-1)^{a+ac} \frac{\sin (\frac{\pi N a}{q})}{\sin (\frac{\pi a}{q})} \frac{\sin (\frac{\pi N ac}{q})}{\sin (\frac{\pi ac}{q})}\tag{3}$$ Para $c=\pm 1$ coincide con $1$. ¿Cómo se comportan en general?

$N,q$ $C$ son enteros positivos satisfacer $N&ltq$.

Answer 1

Una respuesta parcial:

Para demostrar (1), siga Franz Lemmermeyer la sugerencia. Deje $\omega=e^{i\pi/q}$ y escribir el lado izquierdo como $$ S_1=\sum_{a=1}^{q-1}\left[\frac{\omega^{aN}-\omega^{-aN}}{\omega^a-\omega^{-a}}\right]=\sum_{a=1}^{q-1}\left[\sum_{j=1}^N \omega^{(N+1-2j)}\right]^2=\sum_{a=1}^{p-1}\sum_{j=1}^N \omega^{(N+1-2j)}\sum_{k=1}^N\omega^{(N+1-2k)}. $$ El reordenamiento de las sumas que se le da $$ S_1=\sum_{j=1}^N\sum_{k=1}^N\sum_{a=1}^{q-1}\omega^{2a(N+1-j-k)}=-N^2+\sum_{j=1}^N\sum_{k=1}^N\sum_{a=0}^{q-1}\omega^{2a(N+1-j-k)}. $$ La más interna de la suma es igual a 0 si no $j+k=N+1$, en cuyo caso es igual a $q$. Desde que el doble de la suma de $j$ $k$ contiene $N$ términos en los que la condición de $j+k=N+1$ mantiene, tenemos $$ S_1=-N^2+Cn. $$

El segundo debe trabajar de manera similar. Voy a tener que pensar más en la tercera.

Answer 2

La segunda identidad puede ser demostrado mediante algunos conocidos trigonométrica de energía sumas, combinado con la representación de los coeficientes binomiales por el residuo del operador. Para llevar a cabo este cálculo, la suma puede ser escrito como $$S_{2}(N)=\sum_{s\geq0}(-1)^{s}\binom {N-s-1}{s}2^{N-2s-1}\sum_{a=1}^{q-1}(-1)^a\cos^{N-2s-1}(a\pi/q),$$ so, one has to evaluate the sum over $un$, this sum turns out to depend on both $N$, $p$. From the classic textbook by I. J. Schwatt, An Introduction to the Operations with Series. Philadelphia, (1924), using the formulas Eq (113), and Eq (114), page 222, then, we may show that the sum is different from $0$ para $N$ impar, $ q$ incluso, y desaparece para $N$ impar, $ q$ impar. Si $N$ es par, entonces, dicha suma no es fuga sólo para $q$ impar. Utilizar el residuo de la representación de los coeficientes binomiales $$\binom {n}{k}=\hbox{res}_w (1+w){^n}{w^{-k-1}},$$ junto con la definición de la normalizado Chebysheve polinomio de la segunda clase, entonces, podemos demostrar las siguientes identidades,

$$ S_{2}(l)=\sum_{a=1}^{q-1}(-1)^a\frac{\sin(aN\pi/q)}{\sin(a\pi/q)}=-2\hbox{res}_{w=0} \frac{1}{w^{N-1}}\frac{1}{(1-w)^2}-\hbox{res}_{w=0} \frac{1}{w^N}\frac{1}{(1-w)}=-(2N-1),$$ for $N$ odd, $ p$ incluso,

del mismo modo,
$$ S_{2}(N)=\sum_{a=1}^{q-1}(-1)^a\frac{\sin(aN\pi/q)}{\sin(a\pi/q)}=-2\hbox{res}_{w=0} \frac{1}{w^{N}}\frac{1}{(1-w)^2}=-2N,$$ for $N$ even, $ p$ impar. Ahora, considere el siguiente alternando suma $$ S_{3}(q,N,c=2)=\sum_{a=1}^{q-1}(-1)^{a}\frac{\sin(aN\pi/q)}{\sin(a\pi/q)}\frac{\sin(2aN\pi/q)}{\sin(2a\pi/q)}. $$ Here, $q$ is assumed to be odd, then, it can be shown that the sum is non-vanishing only for $N$ even. By using similar steps as in the previous case, one can show that the sum $ S_{3}(q,2N-1,c=2)$, tiene la siguiente forma cerrada; $$-\frac{1}{2}3N(3N-1)+\frac{1}{2}N(N-1)-N+q\Big(3N-\frac{(q+1)}{2}+\frac{1}{2}(1-(-1)^{N-\frac{(q+1)}{2}}\Big), $$ where the last term contributes only for $ 3N > \frac{(p+1)}{2}$.

Para los cálculos explícitos, consulte el autor 's reciente trabajo; Trigonométrica sumas conectado con unidimensional de la celosía, el quirales modelo de Potts, y la teoría de los números utilizando el residuo operador, arXiv:1206.6673v1 [math-ph]