Se dan indicaciones para demostrar que
$$i\int_0^\pi\operatorname{Li}_2\left(-1-e^{ix}\right)-\operatorname{Li}_2\left(-1-e^{-ix}\right)dx=\frac{7\zeta(3)}{3}$$
en tres pasos.
Primer paso. Nos muestran que
$$
I = i\int_0^\pi \operatorname{Li}_2\left(-1-e^{ix}\right)-\operatorname{Li}_2\left(-1-e^{-ix}\right)dx = 4\int_0^1 \frac{\chi_2\left(\tfrac{t}{t+1}\right)}{t}\,dt,
$$
donde $\operatorname{Li}_2$ es el dilogarithm función y $\chi_2$ es el segundo fin de Legendre chi función.
Necesitamos un poco de conocimiento previo. Utilizamos una representación integral de la dilogarithm:
$$
\operatorname{Li}_2(z)=-\int_0^1\frac{\ln(1-t\,z)}t\,dt.\la etiqueta{$\spadesuit$}
$$
Después de que el uso que para todos los $a,b>0$:
$$
\int \ln\left(a+be^{\pm ix}\right)dx = x\ln(a) \pm i \operatorname{Li}_2\left(-\frac{ser^{\pm ix}}{a}\right) + C. \etiqueta{$\diamondsuit$}
$$
Ahora la solución de su problema integral:
\begin{align}
I &= i\int_0^\pi \operatorname{Li}_2\left(-1-e^{ix}\right)-\operatorname{Li}_2\left(-1-e^{-ix}\right)dx \\
&\stackrel{\spadesuit}{=} -i \int_0^\pi \int_0^1 \frac{1}{t} \left( \ln\left(1+t+te^{ix}\right) - \ln\left(1+t+te^{-ix}\right) \right)dt\,dx \\
&= -i \int_0^1 \frac{1}{t} \int_0^\pi \ln\left(1+t+te^{ix}\right) - \ln\left(1+t+te^{-ix}\right) dx\,dt.
\end{align}
Por sustituto $a=t+1$ $b=t$ a $(\diamondsuit)$ obtenemos:
\begin{align}
I &= -i \int_0^1 \frac{1}{t} \left[x\ln(t+1) + i\operatorname{Li}_2\left(-\frac{te^{ix}}{t+1}\right)\right]_0^\pi - \frac{1}{t}\left[x\ln(t+1) - i\operatorname{Li}_2\left(-\frac{te^{-ix}}{t+1}\right)\right]_0^\pi \,dt \\
&= -i \int_0^1 \frac{1}{t} \left( 2i\operatorname{Li}_2\left(\frac{t}{t+1}\right) - 2i\operatorname{Li}_2\left(-\frac{t}{t+1}\right) \right) \, dt.
\end{align}
Utilizando el hecho de que $\chi_\nu(z) = \frac{1}{2}\left(\operatorname{Li}_\nu(z) - \operatorname{Li}_\nu(-z)\right)$, obtenemos:
$$
I = 4\int_0^1 \frac{\chi_2\left(\tfrac{t}{t+1}\right)}{t}\,dt.
$$
Segundo paso. Nos muestran que
\begin{align}
I &= -2 \operatorname{Li}_3\left(-\frac{1}{2}\right)-2
\operatorname{Li}_3\left(-\frac{1}{3}\right)+2
\operatorname{Li}_3\left(\frac{1}{3}\right)-2
\operatorname{Li}_3\left(\frac{2}{3}\right)-2
\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right) \ln (3) \\ &+2
\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right) \ln (3)-2
\operatorname{Li}_2\left(\frac{2}{3}\right) \ln (3)+\frac{\ln
^3(2)}{3}-\frac{2 \ln^3(3)}{3}+\ln^2(3) \ln
(2)+\frac{\pi^2}{3} \ln (2).
\end{align}
Para mostrar esto, tenemos que calcular los siguientes dos integrales:
\begin{align}
\int_0^1 \frac{\operatorname{Li}_2\left(\frac{t}{t+1}\right)}{t}\,dt &= \frac{5 \zeta (3)}{8},\\
\int_0^1 \frac{\operatorname{Li}_2\left(-\frac{t}{t+1}\right)}{t}\,dt &= \operatorname{Li}_3\left(-\frac{1}{2}\right)+\operatorname{Li}_3\left(-\frac{1}{3}\right)-
\operatorname{Li}_3\left(\frac{1}{3}\right)+\operatorname{Li}_3\left(\frac{2}{3}\right) \\
&+\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right) \ln
(3)-\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right) \ln
(3)+\operatorname{Li}_2\left(\frac{2}{3}\right) \ln (3)\\ &-\frac{\ln^3(2)}{6}+\frac{\ln^3(3)}{3}-\frac{1}{2} \ln (2)\ln^2(3)-\frac{1}{6} \pi^2 \ln (2) +\frac{5 \zeta (3)}{8}
\end{align}
Mediante la sustitución de $x=t/(t+1)$, y después de que, mediante el uso de $(\spadesuit)$ obtenemos:
$$
\int_0^1 \frac{\operatorname{Li}_2\left(\pm \frac{t}{t+1}\right)}{t}\,dt = - \int_0^{1/2}\frac{\operatorname{Li}_2(\pm x)}{x(x-1)}\,dx = \int_0^{1/2}\int_0^1 \frac{\ln(1 \mp tx)}{tx(x-1)}\,dt\,dx.
$$
Dejo el resto para el lector. Mathematica es capaz de evaluar tanto las integrales.
Tercer paso. Nos muestran que
$$
I = \frac{7\zeta(3)}{3}.
$$
Para demostrar que
\begin{align}
& -2 \operatorname{Li}_3\left(-\frac{1}{2}\right)-2
\operatorname{Li}_3\left(-\frac{1}{3}\right)+2
\operatorname{Li}_3\left(\frac{1}{3}\right)-2
\operatorname{Li}_3\left(\frac{2}{3}\right)-2
\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right) \ln (3) \\ &+2
\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right) \ln (3)-2
\operatorname{Li}_2\left(\frac{2}{3}\right) \ln (3)+\frac{\ln
^3(2)}{3}-\frac{2 \ln^3(3)}{3}+\ln^2(3) \ln
(2)+\frac{\pi^2}{3} \ln (2)
\end{align}
es igual a
$$
\frac{7\zeta(3)}{3},
$$
es quivalent para demostrar que
$$
2\operatorname{Li}_3\left(-\frac{1}{2}\right)+\operatorname{Li}_3\left(-\frac{1}{3}\right)+2\operatorname{Li}_3\left(\frac{2}{3}\right)+\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right) \ln(3)+2\operatorname{Li}_2\left(\frac{2}{3}\right) \ln(3)$$
es igual a
$$
\frac{\pi^2}{3}\ln(2)+\frac{1}{3}\ln^3(2)-\frac{1}{3} \ln^2(3) \ln\left(\frac{27}{8}\right)-\frac{\zeta(3)}{6}.
$$
Este trabajo es realizado por usted, así que finalmente has respondido a tu propia pregunta.
