¿Se debe generar una curva de anchura constante con un número impar de lados?

Question

Por lo que he visto (y hasta cierto punto leído), no es posible una curva de anchura constante generada a partir de un polígono con un número par de lados. Wikipedia cita un documento de la Universidad de Oxford cuando dice

Se pueden generar curvas de anchura constante uniendo arcos circulares centrados en los vértices de un polígono convexo regular o irregular con un número impar de lados (triángulo, pentágono, heptágono, etc.)

Dice que las curvas de ancho puede ser generado con polígonos con un número impar de lados, no descarta explícitamente los números pares de lados. Supongo que esto se puede plantear en dos preguntas:

Pregunta 1 ¿Son todas las curvas de anchura constante generables con el "Método Reaulaux"?

Parece que todos los documentos que leo mencionan curvas de anchura constante generadas con arcos circulares, lo cual tiene sentido. ¿Es éste el único método posible? Se pueden ver ejemplos en el Artículo de Wikipedia . Voy a decir que también se puede generar un círculo con este método. ¿Cuál es la justificación de la respuesta correcta?

Pregunta 2 ¿Debe ser una curva de anchura constante generado con un número impar de lados?

Esta pregunta es más difícil de responder si la respuesta a la pregunta 1 es negativa, por lo que, en ese caso, puede omitirse (a menos que siga siendo fácil de responder, claro). Respuesta de Mrf me ha proporcionado una idea que podría conducir a una prueba de que los polígonos regulares utilizados para generar con el "Método Reulaux" deben tener un número impar de lados, pero ¿es esto también cierto para los polígonos irregulares? Supongo que sí, pero lo que necesito es una prueba

Answer 1

Sólo por diversión, he hecho una pequeña animación del ejemplo semiconvexo enlazado por @Alexander Schmeding. La mitad superior es una elipse con una relación de eje menor a mayor que va desde $b = 1/2$ a $b = \sqrt{2}$ . La curva puede parametrizarse como $$f_b(\theta) = \begin{cases} (\cos \theta, b \sin \theta), & 0 \le \theta \le \pi, \\ {\displaystyle \frac{2 (b \cos \theta, \sin \theta)}{\sqrt{b^2 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta}}} - (\cos \theta, b \sin \theta), & \pi < \theta \le 2\pi. \end{cases}$$ En Mathematica podemos generar un gráfico interactivo con

F[t_, b_] := Piecewise[{{{Cos[t], b Sin[t]}, 0 <= t < Pi},
             {2 {b Cos[t], Sin[t]}/Sqrt[(b Cos[t])^2 + Sin[t]^2]
               - {Cos[t], b Sin[t]}, Pi <= t <= 2 Pi}}]

Manipulate[Show[ParametricPlot[F[t, b], {t, 0, 2 Pi}, 
                PlotRange -> {{-1, 1}, {-1.5, 1.5}}, PlotStyle -> Black], 
           Graphics[Flatten[{Opacity[0.5], {Hue[#/Pi], 
           Line[{F[#, b], F[# + Pi, b]}]} & /@ (Range[n] Pi/n)}]]]
       {{b, 1}, 1/2, Sqrt[2]}, {n, 1, 75, 1}]

Y nos llega esto:

Lo que encontré realmente interesante es cómo la curva mira como si fuera lo mismo cerca de los extremos de la animación, pero obviamente no lo es por la definición de $f$ sí mismo. Puntos extra si puedes parametrizar la envolvente de las normales para $b \in [1/2, \sqrt{2}]$ . Y más puntos de bonificación si puedes calcular el área cerrada.

Answer 2

Por lo que he entendido en las preguntas, con el "método de Reuleaux" te refieres a que tomas un polígono y le añades arcos circulares para obtener un cuerpo convexo de anchura constante. Suponiendo esto, la respuesta a la pregunta 1 debería ser negativa:

En el libro "Qué redondo es tu círculo" hay otro método para construir cuerpos convexos de anchura constante: Ver en el ¿Cómo de redondo es tu círculo en la web? el ejemplo titulado "Media forma convexa". En este ejemplo, la mitad de una elipse se completa con un cuerpo convexo. Así que por razones de curvatura este cuerpo no puede ser generado por el "método de Reuleaux".

Answer 3

Depende de lo que se entienda por número de lados de una curva.

Si $k$ es un número entero impar, y $p(t) = a\cos^2(kt/2) + b$ entonces $$ \begin{cases} x(t) = p(t)\cos t - p'(t)\sin t \\ y(t) = p(t)\sin t + p'(t)\cos t \end{cases} $$ donde $0 \le t \le 2\pi$ es una curva de anchura constante. Elección de $k=3$ , $a=3$ , $b=1$ terminas con

¿Cuántos lados tiene esa curva? Puedes encontrar más detalles en este documento

Answer 4

En cuanto a su primera pregunta: Es fácil producir curvas de anchura constante sin esquinas. Consulte aquí, en particular, la mitad superior de la página 107:

http://www.math.ethz.ch/~blatter/Konstante_Breite.pdf

Este documento está en alemán. La declaración pertinente en la página 107 es la siguiente:

Poner $${\bf u}(\phi):=(\cos\phi,\sin\phi),\qquad {\bf u}'(\phi):=(-\sin\phi,\cos\phi)$$ y considerar la representación paramétrica $$\gamma:\quad {\bf z}(\phi):= p(\phi){\bf u}(\phi)+p'(\phi){\bf u}'(\phi)\qquad(\phi\in{\mathbb R}/(2\pi))\ ,\tag{1}$$ donde la función $p\in C^2$ cumple las siguientes condiciones: $$p(\phi)+p''(\phi)>0,\qquad p(\phi)+p(\phi+\pi)\equiv b\ .\tag{2}$$ Entonces $\gamma$ es una curva convexa cerrada de anchura constante $b$ y $(1)$ es una parametrización regular de $\gamma$ . De hecho, desde $(1)$ se calcula $${\bf z}'(\phi)=\bigl(p(\phi)+p''(\phi)\bigr){\bf u}'(\phi)\ ,$$ para que $$|{\bf z}'(\phi)|=p(\phi)+p''(\phi)>0,\qquad\arg\bigl({\bf z}'(\phi)\bigr)=\phi+{\pi\over2}\ .$$ Se deduce que el radio de curvatura $\rho$ a lo largo de $\gamma$ viene dada por $$\rho(\phi)=p(\phi)+p''(\phi)\ .$$ Cuando $p$ es suficientemente suave, entonces también lo es $\rho$ mientras que en el caso de las curvas obtenidas por el "método de Reuleaux" el radio de curvatura es constante a trozos y tiene discontinuidades de salto en las bisagras de la construcción.

Por otro lado las curvas obtenidas por el "método de Reuleaux" tienen una representación de la forma $(1)$ también. La función $p$ es entonces sólo continua y a trozos de la forma $$p(\phi)=\rho_i+a_i\cos\phi+b_i\sin(\phi)\qquad(\alpha_{i-1}<\phi<\alpha_i)\ .$$

$C^\infty$ -funciones $p$ cumplir las condiciones $(2)$ son, por ejemplo, los polinomios trigonométricos $$p(\phi):={b\over2}+\sum_{j=1}^N\biggl(a_j\cos\bigl(2j+1)\phi\bigr)+b_j\sin\bigl((2j+1)\phi\bigr)\biggr)\ ,$$ donde el $|a_j|$ y $|b_j|$ son lo suficientemente pequeños.

Answer 5

Pregunta 1 La respuesta es no. Toma la suma de Minkowski de un triángulo de Reuleaux y una pelota pequeña. Obtendrás un triángulo de Reuleaux con esquinas redondeadas.

Por otro lado, existen polígonos generales de Reuleaux que son curvas de anchura constante obtenidas como intersección de un número finito de círculos. En primer lugar, observemos que los polígonos de Reuleaux no tienen por qué ser regulares. Si tenemos más de $5$ lados un polígono de Reuleaux puede ser no regular. Es posible demostrar que los polígonos de Reuleaux son densos en la clase de curvas de anchura constante: es decir, todas las curvas de anchura constante pueden aproximarse tan bien como se quiera con un polígono de Reuleaux.

Pregunta 2 Como la respuesta a la primera pregunta es no, la respuesta a esta pregunta también es negativa.

Sin embargo, un polígono de Reuleaux (descrito anteriormente) debe ser generado por un número par de arcos. Esto se debe a que a cada vértice debemos poder asociar un arco opuesto. Esto sólo es posible si tenemos un número impar de arcos.