Un ejemplo clásico en la teoría de la medida, mantener la teoría de la medida

Question

Hace poco respondí a una pregunta basándome en la siguiente construcción. Sea $\{r_n\}$ sea una enumeración de los racionales y el conjunto

$$E:=\bigcup_{n=1}^\infty B(r_n,2^{-n}).$$

Entonces $$m(E) \leq \sum_{n=1}^\infty m\big(B(r_n,2^{-n})\big)=2$$ y en particular $\mathbb R \setminus E$ es incontable. Al responder a esta pregunta me di cuenta de que no sabía cómo demostrar que $\mathbb R \setminus E$ es incontable sin la teoría de la medida. Me parece un buen ejemplo en topología de conjuntos puntuales, recuerdo un periodo de tiempo en el que pensaba que seguramente cualquier subconjunto abierto denso de $\mathbb R$ sólo faltaba un número contable de puntos (tampoco había leído sobre el conjunto de Cantor en ese momento). Así que me preguntaba si había una forma de enfocar esto que un estudiante de una primera clase típica de análisis o topología de conjuntos de puntos pudiera entender.

Answer 1

No es demasiado difícil demostrar que si $( (a_i,b_i) : i \in I )$ es una tapa abierta del intervalo unitario $[0,1]$ entonces $\sum_{i \in I} (b_i - a_i) > 1$ . La prueba es sólo un argumento de compacidad: habría alguna subcubierta finita $( (a_j, b_j) : j < k )$ del intervalo, y considerando los puntos finales podemos demostrar que $\sum_{j < k} (b_j - a_j)$ ya es mayor que $1$ .

Esto es, por supuesto, la mitad de la prueba que $m([0,1]) = 1$ pero se podría presentar sin definir la medida en absoluto.