Valor de $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2+a^2}$

Question

Así que mi pregunta es para encontrar el valor de $\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k^2+1}$ y, más generalmente, $\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{Q(k)}$ donde P es un polinomio cuadrático sin ceros en los enteros.

Puedo probar que converge, por la prueba de comparación. Creo que he visto una suma antes, y creo que tiene una función hiperbólica de la solución. Pero la forma en que lo hizo no participan de análisis complejo, y no estoy muy a gusto con eso.

Answer 1

Utilizando el teorema de los residuos, se puede mostrar que

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{n^2+a^2} = \frac{\pi}{a} \coth{\pi a}$$

Esto es equivalente a decir que

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+a^2} = \frac{1}{2} \left (\frac{\pi}{a} \coth{\pi a} - \frac{1}{a^2}\right )$$

Usted también puede derivar teniendo en cuenta la Maclurin expansión de $z \coth{z}$:

$$z \coth{z} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2 k} (2 z)^{2 k}}{(2 k)!}$$

donde $B_{2 k}$ es un número de Bernoulli, que también se muestra en zeta de Riemann de funciones de, incluso, el argumento positivo:

$$\zeta(2 k) = (-1)^{k+1} \frac{B_{2 k} (2 \pi)^{2 k}}{2 (2 k)!}$$

Para evaluar la suma, factor $n^2$ entre el denominador y Taylor ampliar:

$$\begin{align}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+a^2} &= \frac{1}{n^2} \frac{1}{1+ \frac{a^2}{n^2}}\\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \left (\frac{a^2}{n^2}\right )^{k} \\ &=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k a^{2 k}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2 k+2}} \\ &=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k a^{2 k} \zeta(2 k+2)\\ &= \frac{1}{2 a^2}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2 k} (2 \pi a)^{2 k}}{(2 k)!} \\ &= \frac{1}{2 a^2} ( \pi a \coth{\pi a} - 1)\\ \end{align}$$

El resultado de la siguiente manera.

Answer 2

Mira la función $ f(x)=e^{ax},~-\pi\leqslant x\leqslant\pi $. Es conocido (evaluar) que $ f(x)=e^{ax}, ~-\pi\leqslant x\leqslant\pi $ tiene la serie de Fourier

$$ \frac{\sinh\pi a}{\pi a}+\frac{2\sinh\pi a}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left[\left(\frac{a}{a^2+n^2}\right)\cos{nx}-\left(\frac{n}{a^2+n^2}\right)\sin nx\right]. $$

La función de $f(x)$ es continua para $ -\pi\leqslant x\leqslant\pi $, pero $ f(-\pi)\neq f(\pi) $. Por lo tanto, en los extremos de la fundamental intervalo de la serie de Fourier para $f(x)$ convergerán para el valor de $$ \frac{1}{2}\left(f(\pi)+f(-\pi)\right)=\frac{1}{2}\left(e^{a\pi}+e^{-a\pi}\right)=\cosh\pi a. $$

Usando este resultado y la configuración de $x=\pi$ en la serie de Fourier da $$\cosh\pi a =\frac{\sinh\pi a}{\pi a}+\frac{2\sinh\pi a}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a}{a^2+n^2}\right),$$

donde se ha usado el resultado $ \cos n\pi = (-1)^n $. Así $$ \coth\pi a =\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{a}+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a}{a^2+n^2}\right]$$ o, equivalentemente, $$\frac{1}{2}\left(\pi\coth\pi a-\frac{1}{a}\right) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a}{a^2+n^2}.$$

Y ahora nos encontramos con $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+a^2} = \frac{1}{2} \left (\frac{\pi}{a} \coth{\pi a} - \frac{1}{a^2}\right ).$$

Answer 3

Puede dividir el sumando en fracciones parciales (sí, usted conseguirá algunas agradable números complejos en el proceso), y su suma se divide en dos sumas geométricas. No es tan bonito un formulario como el de la solución por rlgordonma, lo siento.