Fait $f\colon \Omega \to \mathbb R$ diferenciable implican $f$ ¿localmente Lipschitz?

Question

Dejemos que $f\colon \Omega \subseteq \mathbb R^n \to \mathbb R$ sea una función diferenciable. ¿Es cierto que $f$ es localmente Lipschitz, es decir, Lipschitz en cada compacta $K \subset \Omega$ ?

Si $f$ fueron continuamente diferenciable, la respuesta sería claramente afirmativa, por el teorema del valor medio y Weierstrass. ¿Y si preguntamos sólo por $f$ para ser diferenciable? Creo que he encontrado un contraejemplo con $n=1$ : $$ f \colon \mathbb R \ni x \mapsto \begin{cases}x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right) & x\ne 0 \\ 0 & x=0 \end{cases} $$ La función $f$ es diferenciable para cada $x \in \mathbb R$ pero creo que $$ f'(x) = \begin{cases} 2x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right) - \frac{2}{x}\cos\left(\frac{1}{x^2}\right) & x\ne 0 \\ 0 & x=0 \end{cases} $$ no está acotada en todas las vecindades de $0$ . ¿Qué opina usted? ¿Es correcto mi contraejemplo? Gracias.

Answer 1

Sí, su contraejemplo es correcto. Aunque la propiedad de Lipschitz no implica diferenciabilidad, proporciona un límite uniforme para la derivada si ésta existe. Así, una función con una derivada no acotada no puede ser Lipschitz, y una función cuya derivada no está acotada localmente no puede ser Lipschitz localmente.