La igualdad de dos a afirmar las raíces cuadradas

Question

Resolver para $x$:

$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dots}}}}=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\dots}}}}$

Mi intento:

La L. H. S es igual a $\dfrac{1+\sqrt{4x+1}}{2}$ y R. H. S es igual a $x^2$

La equiparación de ambos lados:

$\implies 4x+1=(2x^2-1)^2$

$\implies 4x+1=4x^4-4x^2+1$

$\implies 4x^4-4x^2-4x=0$

$\implies x(x^3-x-1)=0$

Prescindiendo de las raíces complejas,

$\implies x=0$ 0 $\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{\dfrac{27-3\sqrt{69}}{2}}+\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{9+\sqrt{69}}{2}}}{3^{2/3}}$

Es mi solución correcta? Por cierto me gustaría ver a otros métodos para resolverlo. Gracias!

Answer 1

Puedo obtener una solución diferente:

Deje $y = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+..}}}}=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x...}}}}$.

A continuación,$y^2 = x+ y$$y^2 = xy$.

De la segunda ecuación vemos que $x = y = 0$ es una posible solución, de lo contrario, $x = y \neq 0$.

Así que a partir de la primera ecuación: $x^2 = 2x \Rightarrow x = y = 2$

Answer 2

Tenga en cuenta que RHS está mal: $$y=\sqrt{x\sqrt {x\cdots}}\implies y^2=x\sqrt{x\sqrt {x\cdots}}=xy\implies y=0 \text{ or }x$$