No es realmente una respuesta a la pregunta planteada, pero demasiado grande para ser un comentario.
El valor de la primera suma es
$$
\sum_{k>=2} - \frac{\zeta^\prime(k)}{\zeta(k)} = 0.850312379764164578438788712404715501868902645375196564818394
$$
El valor anterior no es reconocido por Plouffe del inversor, por desgracia.
Por otra parte, debido a $\log \zeta(s) = - \sum_{k\ge1} \log (1-p_k^{-s})$$s>1$, se deduce que
$$
- \sum_{k>=2} \frac{\zeta^\prime(k)}{\zeta(k)} = \sum_{i \ge 1, k\ge 2} \frac{\log p_i}{p_i^k -1}
$$
y aun $\sum_{k>=1} (x^k-1)^{-1}$ no se conoce en forma cerrada, por lo que las posibilidades son escasas, pero uno nunca sabe.
En lo que respecta a los otros algunos, se trata de cerca de
$$
\zeta_P(s) = \sum_{k \ge 1} p_k^{s} = \sum_{n\ge 1} \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta( s n) \qquad \text{ para } s > 1
$$
Diferenciando con respecto a $s$ y restando el polo plazo queremos conseguir
$$
\lim_{s \1+} \zeta_P^\prime(s) - \frac{1}{1-s} = C + \sum_{k \ge 2} \mu(k) \frac{\zeta^\prime(k)}{\zeta(k)}
$$
que, de nuevo, no es exactamente el mismo. Valor numérico para la segunda suma también no suba ningún resultado en Plouffe del inversor:
$$
\sum_{k \ge 2} \frac{\mu(k)}{k} \frac{\zeta^\prime(k)}{\zeta(k)} =0.344146097673912783894171441679617569043972324522437879896534
$$
¿Por qué se espera que estas sumas de dinero para tener buenos valores ?
