Cómo probar que $5$ unidad hypercubes no puede ser posicionado para cubrir una unidad hypersphere?
La unidad de hypersphere ha hipervolumen $\frac{\pi^2}{2} \approx 4.93 \lt 5$, pero parece poco probable que es posible de residuos tan poco espacio. ¿Hay alguna forma fácil de ver que es imposible? Cuántos hypercubes son necesarios, y su configuración se describe en una manera que es fácil para "visualizar"?
Deje $C$ ser una unidad de hipercubo, $U=\partial B(0,1)$ el (hiper-)de la superficie de la unidad de hypersphere y $\mu$ ser el uniforme de probabilidad, medida en $U$. Esto es suficiente para mostrar que $\mu(C\cap U)<\frac{1}{5}$ a demostrar que más de $5$ unidad hypercubes son necesarios para la cubierta de la unidad de hypersphere, es decir, dado $(a,b,c,d)\in \mathbb{R}^4\cap B(0,1)$, $$\int_{\substack{x^2+y^2+z^2+w^2=1 \\ (x,y,z,w)\in(a,b,c,d)+C}}1\, d\mu < \frac{1}{5}.$$
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