Navegando un Campo de Rociadores

Question

Todos los días yo ir a clase y tengo que caminar a través de una secuencia de rociadores. Me suele ver en un segundo y tratar de planificar una ruta en la que yo nunca tiene que parar o hacer marcha atrás y no se moje. Sería aún mejor si podía mantener una velocidad constante.

Pregunta

Si consideramos un sistema de rociadores a ser un $n \times n$ celosía donde el agua se extiende en una longitud de $L$ de la celosía punto, ha aleatorio dirección inicial y cada gira a una velocidad angular constante $v$, ¿cuál es la menor $L$ $n$ de manera tal que no existe suave, camino de $(0,0)$ (o más en general, de cualquier $(a,b)$) $(n,n)$ y $\frac{dx}{dt} \ge 0$, $\frac{dy}{dt} \ge 0$? O, ¿qué condiciones debe imponer en este sistema para garantizar una solución (aparte de tener todos ellos la rotación de la misma y que me sprint arbitrariamente rápidamente)?

Ejemplo de sistema de riego:

Observaciones

Cualquier caso en que $L \le .5$ es trivial, ya que siempre hay una solución siguiendo el exterior de los círculos formados por los aspersores. Del mismo modo, $L<\sqrt{2}n$ cualquier $n$. Por supuesto, no siempre habrá un $n$$L$, al igual que en el $2 \times 2$ de los casos donde hay una solución para todos los $L$ y cualquier orientación. Me siento como si $n$ $L$ son lo suficientemente grandes, no habrá solución, ya que finalmente será atrapado en el interior de un polígono que se está reduciendo, pero no tengo límites en esta conjetura.

Answer 1

Observaciones para $L < \sqrt{2}$:

Inicio plaza grafo cuyos vértices son los aspersores puntos conectados por aristas adyacentes a los aspersores. En cualquier tiempo fijo, al lado dos aspersores líneas se cruzan o no. Si lo hacen se cruzan, quitar el borde de la gráfica. Existe una solución para una suficientemente rápido caminante si hay camino desde la conexión de las partes superior e inferior de la gráfica.

Si el caminante se mueve a una velocidad finita, debemos considerar el ángulo de rotación. Si todas las rotaciones angulares son racionales (o el mismo), entonces existe un tiempo finito en el que el patrón se repita. En el caso de todos los aspersores giran en $\omega$ o $-\omega$, por lo que esta está garantizada. Cada intersección pair tendrá un tiempo en donde se intersectan o no. Esto le da un conjunto de potencialmente $2^n+1$ diferentes gráficos, cada uno de los existentes, por un conocido de toda la vida. Para un determinado walker velocidad ahora es posible determinar si un camino seguro existe por la que atraviesa el (ahora dependiente del tiempo) cíclico de la serie de gráficos.

Notas:

• Me estoy descuidando va alrededor de la matriz, pero esto puede ser atendido mediante la adición de puntos adicionales en el gráfico de contorno sin rociadores.
• Con un mayor $L$ el mismo método debe todavía se mantienen, pero estoy un poco inseguro acerca de cómo los bordes del gráfico sería eliminado.
• Ambos estamos suponiendo implícitamente un pointwise walker.