Factor $x^4+1$ $\mathbb{R}$

Question

Factor $x^4+1$ $\mathbb{R}$

Bueno, he leído a esta pregunta primero erróneamente, porque el lector es sobre análisis complejo, lo hice por $\mathbb{C}$ primera.

Que tengo que hacer. $x^4+1=(x-e^{\pi i/4 })(x-e^{3 \pi i/4})(x-e^{5\pi i/4})(x-e^{7\pi i/4})$.

Mi profesor me dijo que no es muy inteligente manera de hacer esto para $\mathbb{R}$ que ya hemos aprendido. Pero sólo puedo pensar de ensayo y error tipo de métodos.

Answer 1

Es como este: $x^4+1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 = (x^2+1)^2 - (\sqrt2x)^2 = (x^2+\sqrt2x+1)(x^2-\sqrt2x+1)$

Answer 2

Grupo de cada uno de los complejos de raíz de $\alpha$$\bar\alpha$: $$ (x-\alpha)(x-\bar\alpha)=x^2-(\alpha+\bar\alpha)x+\alpha\bar\alpha\in{\Bbb R}[x]. $$

Answer 3

En complicadas condiciones, la extensión de campo $\mathbb C / \mathbb R$ tiene el grado $2$, por lo que esperamos que cada uno de cuarto grado para ser reducible $\mathbb R$. En términos simples, ya que se tienen las cuatro raíces de este polinomio, es una buena manera de agruparlos : las raíces $e^{i\pi/4}$ $e^{7 i \pi/4}$ son conjugadas, por lo que son las raíces de la misma cuadrática ; el grupo de dos factores lineales junto y usted obtendrá un verdadero cuadrática. De forma similar para las raíces correspondientes a$3$$5$.

Espero que ayude,

Answer 4

En www.wolframalpha.com escribí factor x^4 + 1 Se da a los 4 primeros términos de orden.

Espero que esto ayude. Saludos, Matt