$X_n\leq Y_n$ implica $\liminf X_n \leq \liminf Y_n$ $\limsup X_n \leq \limsup Y_n$

Question

¿Alguien puede probar esta pregunta? Lo intenté, pero yo no tengo idea, así que espero que alguien pueda resolver.

Deje $X_n\leq Y_n$ por cada $n\in \Bbb N$. Mostrar que $\liminf X_n \leq \liminf Y_n$$\limsup X_n \leq \limsup Y_n$.

Por favor, probar esta pregunta, gracias.

La definición que tengo:

Deje $X_n$ ser una secuencia de números reales y vamos a $$E=\{x\in \Bbb R^\sharp:(X_{n_k}) \rightarrow x \text{ for some subsequence }(X_{n_k})\text{ of }(X_n)\}$$ for all $n \in \Bbb, N$ and $k$ from $1$ to $\infty$. Then by definition $\lim\sup X_n = \sup E$ and $\lim\inf X_n = \inf E$.

Answer 1

SUGERENCIA: Suponga que $X_n\le Y_n$ por cada $n\in\Bbb N$, y supongamos que, para obtener una contradicción, que $\liminf_nY_n<\liminf_nX_n$. Luego hay una larga $\langle Y_{n_k}:k\in\Bbb N\rangle$ que converge a algunos $y<\liminf_nX_n$. Mostrar que cualquiera de las $\langle X_{n_k}:k\in\Bbb N\rangle\to-\infty$ o $\langle X_{n_k}:k\in\Bbb N\rangle$ tiene una larga que converge a algunos $x\le y$; ambas son imposibles, ya que $y<\liminf_nX_n$.

La otra desigualdad puede ser probado de una manera muy similar.

Answer 2

La definición de limsup/liminf para una secuencia $ \{a_n: n \geq 1 \} $ está dado por

$$ \liminf_{ n \to \infty} a_n = \sup_{n \geq 1} \inf_{ k \geq n } a_k \text{ and } \limsup_{n \to \infty} = \inf_{n \geq 1} \sup_{ k \geq n } a_k . $$

Vamos a mostrar el de la desigualdad de la $\liminf $, otros similares. Definir, por una secuencia $ \{a_n \} $$ n \geq 1$, $$ I_n (a) = \inf \{ a_k : k \geq n \}. $$ Claramente, $ I_n (a) \leq I_{n+1} (a) $ desde el infimum es asumida $ \{ k : k \geq n \} $ en el primer caso, la cual contiene un conjunto $ \{ k : k \geq n+1 \}$ más que el infimum se toma en el segundo caso. Por lo tanto, $ I_n (a) $ es no decreciente y, por tanto, el límite de $ I_n (a) $ existe y el supremum es el límite (que no necesita ser limitado). Por lo tanto, tenemos, $$ \liminf_{ n \to \infty} a_n = \sup_{n \geq 1} \inf_{ k \geq n } a_k = \lim_{ n \to \infty} I_n (a) . $$ Ahora, viene el problema, vamos a $ X_n \leq Y_n $ todos los $ n \geq 1$, pretendemos $$ I_n (X) \leq I_n (Y) \text{ for all } n \geq 1 . $$ Una vez que nos muestran esto, la desigualdad se sigue de la anterior relación acerca de las $ \liminf $ y el límite de la secuencia de $ I_n (X) $ $ I_n (Y) $ respectivamente.

Para probar la afirmación: fix$ n \geq 1 $, y tomará las $ \epsilon > 0 $. A continuación, $ I_n (Y) + \epsilon > I_n (Y) $ y por lo tanto hay un $ k (\geq n ) $ tal que $ Y_k < I_n (Y) + \epsilon $. Por lo tanto, tenemos $ X_k \leq Y_k < I_n (Y) + \epsilon $. Por lo tanto, tenemos $ I_n (X) \leq I_n (Y) + \epsilon $. Desde $ \epsilon > 0 $ es arbitrario, tenemos $ I_n (X) \leq I_n (Y) $, y que la demanda está probado.

Answer 3

Yo podría haber jurado que se le hace una pregunta como esta, pero no puedo encontrar en mi lista de preguntas. Recuerdo una prueba de esta pregunta y se fue similar a esta:

Si $u>\lim sup(y_n)$, entonces no puede ser sólo un número finito de $n\in\mathbb{N}$ tal que $u<y_n$. Desde $x_n\le y_n$$\lim sup(x_n)\le u$$\lim sup (x_n)\le \lim sup(y_n)$.

Answer 4

Si $\lim\inf X_n=\infty$ $X_n\rightarrow\infty$ implica $Y_n\rightarrow\infty$. Suponga $\infty>\lim\inf X_n>\lim\inf ~Y_n$. Para $0<\epsilon<\lim\inf X_n-\lim\inf ~Y_n$, hemos $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $X_{m}>(\lim\inf X_n)-\epsilon/2$$m>n_0$. A partir de la elección de $\epsilon$, hay un $n_1>n_0$ tal que $(\lim\inf X_n)-\epsilon/2>Y_{n_1}$. Pero luego llegamos $X_{n_1}>Y_{n_1}$, una contradicción con la suposición! Así, llegamos a la conclusión de $\lim\inf X_n\leq\lim\inf ~Y_n$. Aplicamos esto a las secuencias de $\lbrace-X_n\rbrace$ $\lbrace-Y_n\rbrace$ observando $-X_n\geq-Y_n$ a probar para el $\lim\sup$.