Intuición detrás de la desigualdad de logaritmos: $1 - \frac1x \leq \log x \leq x-1$

Question

Una de las desigualdades fundamentales sobre el logaritmo es: $$1 - \frac1x \leq \log x \leq x-1 \quad\text{for all $ x > 0 $},$$ que puede preferir escribir en forma de $$\frac{x}{1+x} \leq \log{(1+x)} \leq x \quad\text{for all $ x > -1 $}.$$

El límite superior es muy intuitivo - es fácil de derivar de Serie Taylor de la siguiente manera: $$\log(1+x) = \sum_{i=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} \leq (-1)^{1+1}\frac{x^1}{1} = x.$$

Mi pregunta es: " ¿cuál es la intuición detrás del límite inferior? " Sé cómo demostrar el límite inferior de $\log (1+x)$ (quizás comprobando la derivada de la función $f(x) = \frac{x}{1+x}-\log(1+x)$ y mostrando que es decreciente) pero tengo curiosidad por saber cómo se puede obtener este tipo de límite inferior. Mi objetivo final es llegar a una nueva cota inferior de alguna función relacionada con el logaritmo, y me gustaría aplicar la intuición detrás de la límite inferior del logaritmo estándar a mi entorno.

Answer 1

Toma el límite superior: $$\ln {x} \leq x-1$$ Aplícalo a $1/x$ : $$\ln \frac{1}{x} \leq \frac{1}{x} - 1$$ Esto es lo mismo que $$\ln x \geq 1 - \frac{1}{x}.$$

Answer 2

Si aún no lo sabe $\log(x)=\int_1^x\frac1t\,dt$ una forma de definir la función logaritmo es: $$\text{$ \log(x) $ is the area under the curve $ y=\frac1t $ from $ t=1 $ to $ t=x $.}$$ La imagen siguiente muestra que esta zona está intercalada entre dos rectángulos, cada uno de ellos de anchura $x-1$ . El rectángulo más pequeño tiene la altura $1/x$ mientras que el mayor tiene una altura $1$ . En otras palabras, tenemos las siguientes desigualdades:

$$(x-1)\cdot \frac1x\le\log(x)\le(x-1)\cdot 1$$

Answer 3

Empezando por lo más conocido, $$1 - y \leq e^{-y}$$ Reacomodando, $$1 - e^{-y} \leq y$$ Sustituyendo $y = \ln x$ , $$1 - \frac{1}{x} \leq \ln x$$

¡TADA!

Answer 4

No se necesita la serie de Taylor para obtener el límite superior: basta con comparar los valores en $1$ y (diferenciando) observar que para $x > 1$ , $\log(x)$ crece más despacio que $x - 1$ y en $x < 1$ $\log(x)$ crece más deprisa.

Dicho de otro modo, y más geométricamente, la línea $y = x - 1$ es la línea tangente a $y = \log(x)$ en $x = 1$ y $\log(x)$ es estrictamente cóncava, por lo que las rectas tangentes a $y = \log(x)$ sólo puede tocarlo una vez. Personalmente, estas explicaciones me parecen más "intuitivas" (ya que, por ejemplo, sólo requieren una diferenciación elemental, y no hay que preocuparse por la convergencia de las series de potencias...).

Una vez obtenido el límite superior, el límite inferior se deduce de las simetrías de $\log(x)$ como comentaban las otras respuestas.