Suponga $f:[a,b]\to[a,b]$ ser continua y derivable en a $(a,b)$ y $f(a)=a$, $f(b)=b$. Cómo probar que existe distintas $x_1,x_2 \in(a,b)$ tal que $f '(x_1)f '(x_2)=1$? Gracias de antemano.
Respuesta
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Aplicar el MVT para $g(x)=f(f(x)).$ existe $x_1 \in (a,b)$ s.t. $g'(x_1)=f'(x_1)f'(f(x_1))=1,$ así que hemos terminado.
Añadió:
Si sucede $x_1=f(x_1),$, a continuación, aplicar el MVT para $g$ $[a,x_1]$ por lo tanto, no existe $x_2 \in (a,x_1)$ s.t. $g'(x_2)=f'(x_2)f'(f(x_2))=1.$ Si $x_2 \neq f(x_2)$ así que hemos terminado, pero si $x_2=f(x_2),$ desde $(f'(x_1))^2=1=(f'(x_2))^2$ entonces tendremos $f'(x_1)f'(x_2)=1$ o $-1.$ Para el segundo, necesitamos volver a aplicar la MTV sobre $[x_1,b]$ y ejecute el argumento para la búsqueda de $x_3 \in (x_1,b),$, pero ahora podemos elegir dos puntos de tres ($x_1,x_2,x_3$) con la propiedad deseada.
