Tengo que demostrar que el límite de
$$\lim_ {{(x,y)} \to {(0,0)}} \frac{xy^2\ln\frac{|x|}{|y|}}{{(x^2+y^2)}^{\frac 12}}$$
no existe. He tratado de encontrar dos caminos diferentes que muestran que el límite es divergente, pero no pude encontrar ninguna. También he tratado de enlazar, y no funcionó. Puede que alguien me explique cómo hacerlo? Gracias!
PS: Esto es parte de un ejercicio, no incluí porque era irrelevante. Sólo tengo que demostrar que no converge a cero.
El límite es de $0$.
Por lo que parece, la función no está definida para $x=0,y\neq0$ o $y=0,x\neq0$ pero podría ampliarse continuamente desde $z \ln|z| \rightarrow 0$$z\rightarrow 0$.
$$\lim_ {{(x,y)} \to {(0,0)}} \frac{xy^2\ln\frac{|x|}{|y|}}{{(x^2+y^2)}^{\frac 12}}=\lim_ {{(x,y)} \to {(0,0)}} \frac{xy\ln|x|-xy\ln |y|}{{[1+(x/y)^2]}^{\frac 12}}=0.$$
Tenga en cuenta que
$$\lim_{x\rightarrow 0} x\ln|x|=0, \\ \lim_{y\rightarrow 0} y\ln|y|=0,\\ [1+(x/y)^2]^\frac1{2} \neq 0$$
Puesto que, en este límite, $x$ $y$ tienden a $0$ juntos: no podemos tener a $xy = 1$, por ejemplo.
Por lo tanto,
$$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} xy\ln|x|-xy\ln |y|=0$$
Por lo que el numerador tiende a $0$, independientemente de la ruta de acceso y el denominador nunca se $0$. El denominador podría acercarse a $\infty$ $y$ tiende más rápido a$0$$x$, por ejemplo, $y=x^2$. En ese caso , el límite de la relación converge más rápidamente a $0$.
En primer lugar, permítanme recordar el resultado
$$ |\ln(x)|< \frac{1}{x},\quad x\sim 0. $$
$$\Bigg| \frac{xy^2\ln\frac{|x|}{|y|}}{{(x^2+y^2)}^{\frac 12}} \Bigg|. $$
Voy a tratar el caso $|x|<|y|<1$, lo que da
$$ \Big| \frac{x}{y} \Big|<1 \implies \ln\Big| \frac{x}{y} \Big| < \Big| \frac{y}{x} \Big|.$$
Así tenemos
$$\Bigg| \frac{xy^2\ln\frac{|x|}{|y|}}{{(x^2+y^2)}^{\frac 12}} \Bigg| < \frac{|x|\,|y|^2\frac{|y|}{|x|}}{{(x^2+y^2)}^{\frac 12}} = \frac{|y|^3}{{(x^2+y^2)}^{\frac 12}} \leq (x^2+y^2) < \epsilon $$
$$ \implies \sqrt{x^2+y^2} < \sqrt{\epsilon} =\delta. $$
Nota: Las siguientes desigualdades son útiles
$$ |y| = \sqrt{y^2} \leq \sqrt{x^2+y^2}. $$
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