Cómo integrar $ \int \frac {1}{ \sin ^4x + \cos ^4 x} \,dx$ ?

Question

Cómo integrar $$ \int \frac {1}{ \sin ^4x + \cos ^4 x} \,dx$$

Intenté el siguiente enfoque: $$ \int \frac {1}{ \sin ^4x + \cos ^4 x} \,dx = \int \frac {1}{ \sin ^4x + (1- \sin ^2x)^2} \,dx = \int \frac {1}{ \sin ^4x + 1- 2 \sin ^2x + \sin ^4x} \,dx \\ = \frac {1}{2} \int \frac {1}{ \sin ^4x - \sin ^2x + \frac {1}{2}} \,dx = \frac {1}{2} \int \frac {1}{( \sin ^2x - \frac {1}{2})^2 + \frac {1}{4}} \,dx$$

La sustitución $t = \tan\frac {x}{2}$ produce polinomios de 4º grado y un $ \sin $ La sustitución produciría polinomios y expresiones con raíces cuadradas, mientras que la solución de Wolfram Alpha no parece tan complicada. Otro enfoque: $ \sin ^4x + \cos ^4 x = ( \sin ^2 x + \cos ^2x)( \sin ^2 x + \cos ^2 x) - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x = 1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x = (1- \sqrt2\sin x \cos x)(1+ \sqrt2\sin x \cos x)$
y luego traté de sustituirlo: $t = \sin x \cos x$ y se $$ \int\frac {t\,dt}{2(1-2t^2) \sqrt {1-4t^2}}$$

Otra forma sería tal vez hacer dos integrales: $$ \int \frac {1}{ \sin ^4x + \cos ^4 x} \,dx = \int \frac {1}{(1- \sqrt2\sin x \cos x)(1+ \sqrt2\sin x \cos x)} \,dx = \\ \frac {1}{2} \int \frac {1}{1- \sqrt2\sin x \cos x} \,dx + \frac {1}{2} \int\frac {1}{1+ \sqrt2\sin x \cos x} \,dx$$

... y otra vez intenté $t = \tan\frac {x}{2}$ (polinomio de 4º grado) y $t= \sqrt2 \sin x \cos x$ y tengo $ \frac { \sqrt 2}{2} \int \frac {\,dt}{(1-t) \sqrt {1-2t^2}}$ para el primero.

¿Alguna pista?

Answer 1

Simplifica el denominador de la siguiente manera: $$\sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x=1-\frac{\sin^2(2x)}{2}=\frac{1+\cos^2(2x)}{2}=\frac{2+\tan^2(2x)}{2\sec^2(2x)}$$ Por lo tanto, la integral con la que está tratando es: $$\int \frac{2\sec^2(2x)}{2+\tan^2(2x)}\,dx$$ Supongo que el siguiente paso es bastante obvio ahora. ;)

Answer 2

Otro enfoque:

Tenemos $$ \frac{1}{\sin^4x+\cos^4x},\tag1 $$ Multiplicar $(1)$ por $\dfrac{\tan^4x}{\tan^4x}$ obtenemos $$ \frac{\tan^4x}{\sin^4x(1+\tan^4x)}=\frac{\sec^4x}{1+\tan^4x}=\frac{(1+\tan^2x)\sec^2x}{1+\tan^4x}.\tag2 $$ Dejar $t=\tan x$ la integral resulta ser $$\eqalign { \int\frac{1+t^2}{1+t^4}\ dt&=\frac12\int\left[\frac{1}{t^2-\sqrt2t+1}+\frac{1}{t^2+\sqrt2t+1}\right]\ dt\\ &=\frac12\int\left[\frac{1}{\left(t-\dfrac1{\sqrt2}\right)^2+\dfrac34}+\frac{1}{\left(t+\dfrac1{\sqrt2}\right)^2+\dfrac34}\right]\ dt.\tag3 } $$ Uso de la sustitución $u=\dfrac{\sqrt3}2\left(t-\dfrac1{\sqrt2}\right)$ y $v=\dfrac{\sqrt3}2\left(t+\dfrac1{\sqrt2}\right)$ la integral en $(3)$ puede evaluarse fácilmente.

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Anexo :

Otra forma de evaluar $\displaystyle\int\frac{1+t^2}{1+t^4}\ dt$ es dividir el integrando por $\dfrac{t^2}{t^2}$ obtenemos $$\eqalign { \int\frac{1+\dfrac1{t^2}}{t^2+\dfrac1{t^2}}\ dt&=\int\frac{1+\dfrac1{t^2}}{\left(t-\dfrac1{t}\right)^2+2}\ dt. } $$ Ahora dejemos que $u=t-\dfrac1{t}\;\Rightarrow\;du=\left(1+\dfrac1{t^2}\right)\ dt$ la integral resulta ser $$ \int\frac{1}{u^2+2}\ du.\tag4 $$ La evaluación de la integral $(4)$ puede seguir el comentario de @achillehui.

Answer 3

Convierte las potencias exponenciales en ángulos múltiples. A partir del teorema de deMoivre, con $n\in\mathbb{N}$ : $$ \begin{align} \left( e^{i \theta} \right)^{n} &= e^{i n\theta} \\ \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n} &= \cos n\theta + i \sin n\theta \end{align} $$ Estas fórmulas intermedias pueden ayudar: $$ \begin{align} \cos 2\theta &= \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta \\ \sin 2\theta &= 2 \cos \theta \sin 2 \theta \\ \end{align} $$ Reducir el denominador $$ \sin ^4(x)+\cos ^4(x) = \frac{1}{4} (\cos (4 x)+3) $$ La primitiva es $$ \int \frac{1}{\cos^{4}x + \sin^{4}x} \, dx = \int \frac{1}{\cos (4 x)+3} \, dx = \left(4 \sqrt{2}\right)^{-1}\arctan \left(\frac{\tan (2 x)}{\sqrt{2}}\right) $$

Aquí se ve el integrando: