Ayuda a la integración $\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^2}{x^2 + 1} \operatorname d\!x$ - ¿Integración del contorno?

Question

El libro de George Arfken: Mathematical Methods for Physicists tiene el siguiente problema en un capítulo sobre integración de contornos:

$\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{(\log x)^2}{x^2 + 1} dx$ .

Su sugerencia es hacer la sustitución $x \rightarrow z=e^t$ . No estoy seguro de lo que querían decir con esto, pero intenté hacer la sustitución $x = e^t$ , lo que convierte la integral en:

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{t^2 e^t}{1+e^{2t}} dt$ .

La pista es entonces tomar el contorno de -R a R, a R+ $\pi i$ a -R + $\pi i$ a -R. Como esto tiene un polo en $t = \pi i/2$ una expansión en serie de Laurent alrededor de este punto da el residuo como $i \pi^2/8$ por lo que la integral de contorno es igual a $-\pi^3/4$ .

He podido demostrar que la integral a lo largo de R a R + $\pi i$ y a lo largo de -R + $\pi i$ a -R llega a cero por la desigualdad ML - el denominador crece exponencialmente pero el numerador cuadráticamente.

Pero en este punto, estoy un poco perdido en cuanto a qué hacer con la integral sobre Im $t = \pi$ . ¿Alguna ayuda? El libro da la respuesta como $\pi^3 /8$ .

Answer 1

Desarrollando la idea de Ragib: tenemos la sustitución $\,t\to -u+\pi i\Longrightarrow dt=-du,$ Así que ponemos

$$f(t):=\frac{t^2e^t}{1+e^{2t}}\Longrightarrow$$

$$\Longrightarrow\int_{R+\pi i}^{-R+\pi i}f(t)\,dt=-\int_{-R}^R\frac{(u^2-2\pi iu-\pi^2)e^{-u+\pi i}}{1+e^{-2u+2\pi i}}\,du=$$

$$=\int_{-R}^R\frac{u^2e^{-u}}{1+e^{-2u}}du-2\pi i\int_{-R}^R\frac{ue^{-u}}{1+e^{-2u}}\,du-\pi^2\int_{-R}^R\frac{e^{-u}}{1+e^{-2u}}\,du$$

La primera integral de arriba es igual que la del eje real (por cierto, nótese los signos delante de las dos últimas integrales, que provienen del factor $\,e^{\pi i}=-1\,$ ).

La última integral es

$$\pi^2\int_{-R}^R\frac{d(e^{-u})}{1+e^{-2u}}=\left.\pi^2\arctan e^{-u}\right|_{-R}^R=$$

$$=\pi^2\left(\arctan e^{-R}-\arctan e^R\right)\xrightarrow [R\to\infty]{}\pi^2\left(0-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi^3}{2}$$

La segunda integral de arriba es cero ya que el integrando es sólo $\,\frac{\pi iu}{\cosh u}\,$ que es una función de impar...

Denotando nuestra integral por $\, I \,$ por lo que tenemos que

$$2I-\frac{\pi ^3}{2}=-\frac{\pi^3}{4}\Longrightarrow I=\frac{\pi^3}{8}$$

Answer 2

Considere la integral

$$\oint_\Gamma \frac{\log^3{z}}{1+z^2}dz$$

donde $\Gamma$ es un contorno de ''ojo de cerradura'' en el plano complejo, alrededor del eje real positivo. Se puede ver que esta integral de contorno desaparece a lo largo de los contornos circulares exterior e interior alrededor del origen, por lo que la integral de contorno se reduce

$$\int_0^{\infty} \frac{\log^3{x}-(\log{x}+i 2 \pi)^3}{1+x^2} dx\\ = -i 6 \pi \int_0^{\infty} \frac{\log^2{x}}{1+x^2}dx +12 \pi^2 \int_0^{\infty} \frac{\log x}{1+x^2}dx +i8\pi^3\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx. $$ La última integral es fácil: $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx=\tan^{-1}x \Big|_{0}^{+\infty }=\frac{\pi}{2}. $$

Por el teorema del residuo, la integral de contorno es también igual a $i 2 \pi$ veces la suma de los residuos en los polos $z_+=i=e^{i \pi/2}$ y $z_-=-i=e^{+i3\pi/2}$ donde el corte de la rama del logaritmo se ha colocado convenientemente a lo largo del eje real positivo. En este caso, con los polos simples, tenemos las fórmulas simples

$$ \text{Res}\frac{\log^3{z}}{1+z^2}\Big|_{z=z+}=\frac{\log^3{z}}{2z}\Big|_{z=z+}=-\frac{\pi^3}{16} $$ $$ \text{Res}\frac{\log^3{z}}{1+z^2}\Big|_{z=z-}=\frac{\log^3{z}}{2z}\Big|_{z=z-}=+\frac{27\pi^3}{16}. $$

Así, tenemos que

$$ i2\pi \left(\frac{27\pi^3}{16}-\frac{\pi^3}{16}\right) =-i 6 \pi \int_0^{\infty} \frac{\log^2{x}}{1+x^2}dx +12 \pi^2 \int_0^{\infty} \frac{\log x}{1+x^2}dx +i4\pi^3 $$ o $$ -i\frac{3}{4}\pi^4 = -i 6 \pi \int_0^{\infty} \frac{\log^2{x}}{1+x^2}dx +12 \pi^2 \int_0^{\infty} \frac{\log x}{1+x^2}dx. $$ Por último, igualar las partes reales e imaginarias: $$ \int_0^{+\infty}\frac{\log x}{1+x^2}dx=0 $$ $$ \int_0^{+\infty}\frac{\log^2{x}}{1+x^2}dx=\frac{\pi^3}{8}. $$

Answer 3

Utilizar un contorno semicircular

y señalando que $$ \int_0^\infty\frac{\log(x)}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=0 $$ obtenemos $$ \begin{align} -\frac{\pi^3}4 &=\oint_\gamma\frac{\log(x)^2}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^\infty\frac{(\log(x)+\pi i)^2}{1+x^2}\,\mathrm{d}x+\int_0^\infty\frac{\log(x)^2}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^\infty\frac{\log(x)^2-\pi^2}{1+x^2}\,\mathrm{d}x+\int_0^\infty\frac{\log(x)^2}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\\ &=2\int_0^\infty\frac{\log(x)^2}{1+x^2}\,\mathrm{d}x-\frac{\pi^3}2\\ \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \int_0^\infty\frac{\log(x)^2}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi^3}8 $$

Answer 4

Si simplemente se escribe la integral de contorno sobre Im $t=\pi$ como una integral real utilizando la parametrización $t:[-R,R] \to \mathbb{C}: t\mapsto -t+i\pi$ entonces se ve que la integral es algo de la forma $$ I + C_1 \int^{\infty}_{-\infty} \frac{t e^t}{1+e^{2t} } dt + C_2 \int^{\infty}_{-\infty} \frac{e^t}{1+e^{2t} } dt $$ donde $I$ es la integral que quieres encontrar y $C_1, C_2$ son algunas constantes conocidas. La última integral se resuelve fácilmente mediante una sustitución elemental.

La del medio se resuelve exactamente con el mismo procedimiento que acabamos de aplicar para encontrar la original: Establecer el mismo contorno, los lados van a 0, la parte a lo largo de Im $t=\pi$ es expresable en términos de la parte a lo largo del eje real, y puedes resolverlo.