Hacer la convolución y la multiplicación de satisfacer cualquier trivial algebraica de las identidades?

Question

Para (adecuado) real o complejo de valores de las funciones f y g en a (adecuado) abelian grupo G, tenemos dos bilineal operaciones: multiplicación -

(f.g)(x) = f(x)g(x),

y de convolución -

(f*g)(x) = ∫_y+z=xf(y)g(z)

Tanto las operaciones de definir estructuras de anillo conmutativo (posiblemente sin identidad) con el habitual adición. (Para que tenga sentido, tenemos que encontrar un subconjunto de funciones que es cerrado bajo la suma, la multiplicación, y la convolución. Si G es finito, esto no es un problema, y si G es compacto, podemos considerar infinitamente funciones diferenciables, y si G es R^d, podemos considerar el Schwarz clase de infinitamente diferenciable de las funciones que la caries en el infinito más rápido que todos los polinomios, etc. Mientras nuestra clase de funciones no satisface cualquier adicional no trivial algebraica de las identidades, no importa de qué se trata exactamente.)

Mi pregunta es simple: ¿estos dos conmutativa estructuras de anillo de satisfacer cualquier adicional no trivial de las identidades?

Un "trivial" la identidad es sólo uno que es una consecuencia de las propiedades mencionadas anteriormente: e. g., tenemos la identidad

f*(g.h) = (h.g)*f,

pero que se deduce del hecho de que la multiplicación y la convolución por separado conmutativa semigroup operaciones.

Edit: para aclarar, de una "identidad algebraica" aquí debe ser de la forma "(f1, ... fn) = B(f1, ..., fn)," donde a y B se compone de las siguientes operaciones:

• además
• la negación
• identidad aditiva (0)
• la multiplicación
• de convolución

(Técnicamente, una más correcta la redacción sería "para todos los f1, ..., fn: Un(f1, ... fn) = B(f1, ..., fn)," pero el cuantificador universal es siempre implícita.) Si bien es cierto que la transformada de Fourier de los intercambios de convolución y la multiplicación, que no le da validez identidades, a menos que de alguna manera podría escribir la transformada de Fourier como una composición de las operaciones anteriores, ya que no te estoy dando la transformada de Fourier como una operación primitiva.

Edit 2: al Parecer, el anterior es todavía bastante confuso. Esta pregunta es acerca de las identidades en el sentido de álgebra universal. Yo creo que lo que realmente estoy pidiendo es la variedad generada por el conjunto de abelian grupos dotados de las cinco operaciones. Se diferencia de la variedad de álgebras con 5 operaciones (operaciones binarias +, *, .; unario operación -; nullary operación 0) determinado por las identidades diciendo que (+, -, 0, *) y (+, -, 0, .) son conmutativas estructuras de anillo?

Answer 1

Bien, creo que puedo terminar la prueba ahora. Voy a demostrar que no hay ninguna que no sea trivial identidades en $\mathbb{R}^d$ para $d$. Esta prueba hace un uso intensivo de la primera parte de Terry Tao del post (que se reduce a multilineal de las identidades), pero voy a usar un argumento diferente para el final, ya que supongo que estoy más familiarizado y cómodo con verdaderos espacios vectoriales que con los grupos finitos. Debería ser posible para completar Terry, de la línea de argumento para obtener una prueba para los suficientemente grandes grupos finitos, que mi prueba no cubren. Por otra parte, como Theo señaló en un comentario a su respuesta, deformando el dominio no lineal de los tornillos de convolución, dejando el resto de operaciones intacta, y debe ser de fácil uso que de no mostrar las identidades pueden sostener. En cualquier caso, este es un wiki de la comunidad post, así que cualquiera puede hacer adiciones o simplificaciones.

En primer lugar, por Terry Tao observaciones, es suficiente con considerar multilineal de las identidades de la forma $$c_1F_1(f_1,\ldots,f_n) + \cdots + c_kF_k(f_1,\ldots,f_n) = 0$$, donde cada $F_i$ es un "multilineal monomio," yo. e., una composición de la multiplicación y de la convolución en el que cada uno de $f_1,\ldots,f_n$ aparece exactamente una vez. (La pregunta original no permiten la multiplicación escalar, pero no introducir ninguna dificultad.) Para resumir el argumento: mediante la aplicación de las leyes distributiva tanto como sea necesario y el uso de una sencilla escala argumento, es suficiente con considerar las identidades que son homogéneos en cada argumento, yo. e., sumas de monomials en el que cada argumento aparece un número fijo de veces. Para reducir esta más a la multilineal caso, supongamos que tenemos algunos supuesta identidad de la forma $F(f_1,\ldots,f_m) = 0$, que es homogénea de grado $n_i$ en $f_i$ para todo $i$. Por el momento, la posibilidad de $f_2,\ldots,f_n$ a ser fijo, por lo que tenemos un homogénea de grado-$n_1$ funcional $T(f_1)$ de $f_1$. La polarización de la identidad de los estados que si definimos una nueva funcionalidad $S$ por $$S(g_1,\ldots,g_{n_1}) = \frac{1}{n_1!}\sum_{E\subseteq \{1,\ldots,n\_1\}} (-1)^{n_1-|E|} T\big(\sum_{j\in E} g_j\big),$$ $S$ es (simétrica) multilineal función de $g_1,\ldots,g\_{n_1}$ y $S(f_1,\ldots,f_1) = T(f_1)$. Por lo tanto, la identidad $F(f_1,\ldots,f_m)=0$ es equivalente a la identidad $G(g_1,\ldots,g_{n_1},f_2,\ldots,f_n) = 0$, donde $G$ es obtenido a partir de $F$ por la polarización de la construcción aplicada en el primer argumento. La repetición de la construcción por $f_2,\ldots,f_m$, se obtiene un equivalente multilineal de identidad $H(g_1,\ldots,g_n)=0$ (donde $n=n_1+\cdots+n_m$).

Vamos a fijar una nomenclatura para monomials: deja de $C(f_1,\ldots,f_n)=f_1*\cdots*f_n$ y $M(f_1,\ldots,f_n)=f_1\cdot \cdots \cdot f_n$. Un monomio es una C-expresión si convolución es el nivel superior de operación o de un M-expresión de si la multiplicación es el nivel superior de la expresión. $f_1,\ldots,f_n$ son atómica expresiones y son considerados como M-expresiones y C-expresiones. Se consideran dos monomials idénticas si se pueden obtener de uno a otro mediante la aplicación de la asociativas y conmutativas leyes para la multiplicación y la convolución. Con esta relación de equivalencia, cada clase de equivalencia de monomials puede escribirse de forma única en el formulario de $C(A_1,\ldots,A_n)$ o $M(B_1,\ldots,B_n)$ (hasta permuting el $A$s o $B$s), donde el $A$s son M-expresiones y $B$s son C-expresiones. En este punto, hemos hecho el máximo uso de las identidades algebraicas para la convolución de álgebra y de la multiplicación de álgebra, así que ahora tenemos que demostrar que no existen identidades en absoluto de la forma $$c_1F_1(f_1,\ldots,f_n) + \cdots + c_kF_k(f_1,\ldots,f_n) = 0$$ donde $c_i$ son cero escalares y los $F_i$ son distintos multilineal monomials.

Para todo $a>0$, deje que $\phi_a:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}$ ser la función de gauss $\phi_a(x)=e^{- \|x\|^2}$. Vamos a probar si el $F_i$ son distintos y los $c_i$ son cero, entonces $$c_1F_1(\phi_{a_1},\ldots,\phi_{a_n}) + \cdots + c_kF_k(\phi_{a_1},\ldots,\phi_{a_n})= 0$$, no puede mantener por todos los $a_1,\ldots,a_n>0$. Es fácil ver que $\phi_a\cdot\phi_b = \phi_{a+b}$ y $\phi_a*\phi_b = (\pi(a+b))^{d/2}\phi_{(a^{-1}+b^{-1})^{-1}}$. Por lo tanto, si definimos $S(a_1,\ldots,a_n)=a_1+\cdots +a_n$ y $P(a_1,\ldots,a_n)=(a_1^{-1}+\cdots+a_n^{-1})^{-1}$, y $F$ es un multilineal monomio, entonces $F(\phi_{a_1},\ldots,\phi_{a_n}) = R_F(a_1,\ldots,a_n)^{d/2}\exp(-Q_F(a_1,\ldots,a_n)\|x\|^2)$, donde $R_F$ es una función racional y $Q_F$ es una función racional compuesto de $S$ y $P$. De hecho, si $F$ es escrito como una composición de $C$ y $M$, entonces $Q_F(a_1,\ldots,a_n)$ se obtiene a partir de $F(\phi_{a_1},\ldots,\phi_{a_n})$, simplemente mediante la sustitución de todos los $C$s $P$s $M$s $S$s y $\phi_{a_i}$ $a_i$ para todo $i$. Por lo tanto, tiene sentido definir P y S-expresiones de forma análoga a - C y M-expresiones. Un PS-expresión en $a_1,\ldots,a_n$ es una composición de $P$ y $S$ en el que cada uno de $a_1,\ldots,a_n$ aparece exactamente una vez. Equivalencia de PS-expresiones se define exactamente como para C/M monomials; en particular, la equivalencia de PS-expresiones aparentemente es una condición más fuerte que la igualdad como funciones racionales.

El principal lema que necesitamos es que en realidad no es una condición más fuerte: si $F$ y $G$ son distintos multilineal monomials en $n$ argumentos, entonces $Q_F$ y $Q_G$ son distintas funciones racionales. En otras palabras, distintos PS-expresiones definen distintas funciones racionales. (Tenga en cuenta que esto es falso si el adjetivo "multilineal" se deja caer.) Para demostrar esto, en primer lugar tenga en cuenta que aunque $Q_F$ y $Q_G$ inicialmente se definen como funciones $(0,\infty)^n\a (0,\infty)$, se extienden de forma continua en $[0,\infty)^n\a [0,\infty)$. Si $D=\{i_1,\ldots,i_k\}$ es un subconjunto de $\{1,\ldots,n\}$ y $Q$ es un PS-expresión en $$ n variables, entonces $D$ es llamado un primer implicant de $P$ si $P(a_1,\ldots,a_n) = 0 $ cuando $a_{i_1},\ldots,a_{i_k}$ son todos cero, pero no subconjunto de $D$ tiene esta propiedad. Vamos a $I(Q)$ el conjunto de implicantes primos de $P$. Es fácil demostrar que $I(P(Q_1,\ldots,Q_m))$ es distinto de la unión de $I(Q_1),\ldots,I(Q_m)$, y $I(S(Q_1,\ldots,Q_m))$ es el conjunto de todos los $D_1 \cup \cdots \copa D_k$, donde $D_i\I(Q_i)$. (Aquí es importante que ninguna de las variables $a_1,\ldots,a_n$ aparezca en más de un $Q_i$.) Definir el implicant gráfico de $P$ como el grafo no dirigido con vértices de $1,\ldots,n$ y un borde entre $i$ y $j$ si algunos de los mejores implicant de $P$ que contiene a $i$ y $j$. Es fácil ver que la implicant gráfica de una expresión está conectado, y si $Q_1,\ldots,Q_m$ son expresiones-S, entonces los componentes conectados de la implicant gráfico de $P(Q_1,\ldots,Q_m)$ son los implicant gráficos de $Q_1,\ldots,Q_m$. Esto implica inmediatamente que un P-expresión no puede definir la misma función como una expresión, por lo que es suficiente para mostrar que las distintas expresiones-S inducir distintas funciones racionales, y los distintos P-expresiones de hacer. En realidad, es suficiente para mostrar que distintos P-expresiones definen distintas expresiones, desde $P$ y $S$ se intercambian por la involución $\sigma(a)=a^{-1}$: $\sigma(P(a,b))=S(\sigma(a),\sigma(b))$. Que diferentes P-expresiones de inducir diferentes funciones, sigue ahora por inducción sobre el número de variables, desde el implicant conjuntos de las expresiones-S $Q_i$ se determina únicamente por la implicant conjunto de $P(Q_1,\ldots,Q_m)$ considerando la conectividad como el anterior.

El resto de la prueba es fácil: si el $F_i$ son distintos multilineal monomials, entonces el $Q_{F_i}$ son distintas funciones racionales. Esto implica que para algunos $a_1,\ldots,a_n$, el $Q_{F_i}(a_1,\ldots,a_n)$ son todos distintos números positivos, ya que distintas funciones racionales no pueden ponerse de acuerdo sobre un conjunto de positivo de la medida de Lebesgue. Para obtener una contradicción, supongamos que el $c\_i$ son todos cero y la identidad $\sum_i c_i F_i(f_1,\ldots,f_n)=0$ se mantiene. Entonces $$\sum_i c_i F_i(\phi_{a_1},\ldots,\phi_{a_n}) = \sum_i c_i R_{F_i}(a_1,\ldots,a_n)^{d/2} \exp(-Q_{F_i}(a_1,\ldots,a_n)\|x\|^2) = 0$$ para todo $x$. Sin pérdida de generalidad, la $Q_{F_i}(a_1,\ldots,a_n)$ están aumentando como una función de i$$. Pero, a continuación, para lo suficientemente grande como $x$, el primer término domina a todos los demás, por lo que la suma puede no ser cero, a menos de $c_1=0$: una contradicción. Esto completa la prueba.

Answer 2

Creo que la respuesta a la pregunta original (es decir, ¿hay algún universal identidades algebraicas relacionadas con la convolución y la multiplicación sobre la arbitraria de los grupos, más allá de la "obvio"?) es negativo, a pesar de establecer rigurosamente va a ser tremendamente tedioso.

Hay un par de pasos involucrados. Para evitar tecnicismos vamos a restringir la atención a los discretos finitos campos G (por lo que podemos utilizar álgebra lineal), y asume la característica de G es muy grande.

En primer lugar, dado que cualquier intento de convolución/multiplicación de identidad relacionados con un montón de funciones, se puede utilizar la homogeneidad y descomponer esa identidad en identidades homogéneas, en la que cada función aparece el mismo número de veces en cada término. (Por ejemplo, si uno tiene una identidad que implica tanto cúbicos expresiones de una función f cuadrática y expresiones de f, se puede separar en un cúbicos de identidad y una cuadrática de identidad.) Así que sin pérdida de generalidad que uno puede restringir la atención a la homogénea identidades.

A continuación, por la despolarización, uno debe ser capaz de reducir aún más para el caso de multilineal de las identidades identidades que implican un montón de funciones f1, f2, ..., fn, cada término es lineal en cada una de las funciones. (No he comprobado esto con cuidado, pero debe ser cierto, sobre todo desde que nos puede permitir que las funciones complejas de valoración.)

Es conveniente sólo para considerar la evaluación de estas identidades en el único punto 0 (es decir, escalar identidades, en vez de funcional de las identidades). Uno puede realmente ver funcional identidades como escalar identidades después de convolving (o tomar interior de los productos de) la identidad funcional con una prueba adicional de la función.

Ahora (después de usar el distributiva de la ley tantas veces como sea necesario), cada término en el multilineal de la identidad se compone de algunos de secuencia de aplicaciones de la pointwise del producto y de la convolución de las operaciones (no la suma o la resta), evaluada en cero, y luego se multiplica por un escalar constante. Cuando uno se expande a todos de que, con lo que se obtiene es una suma (en el caso discreto) del producto tensor $f1 \otimes ... \otimes fn$ de todas las funciones a través de algunas subespacio de $G^n$. La exacta subespacio está dada por la forma precisa en que el pointwise del producto y de la convolución de los operadores se aplican.

La única manera de que una identidad universal puede sostener, entonces, es si la suma ponderada de las funciones de los indicadores de estos subespacios (contando multiplicidad) se desvanece. (Tenga en cuenta que las combinaciones lineales finitas del tensor de productos abarcan el espacio de todas las funciones en $G^n$ cuando G es finito.) Pero cuando la característica de G es lo suficientemente grande, la única manera en que puede suceder es que si cada subespacio aparece en la identidad con un peso neto de cero. (De hecho, un vistazo a un subespacio de máxima dimensión en la identidad; para G lo suficientemente grande como característica, que contiene los puntos que no serán cubiertos por cualquier otro subespacio en la identidad, y por lo que la única forma en que la identidad puede tener es si el peso neto de que el subespacio es cero. Ahora, retire todos los términos relacionados con este subespacio e iterar.)

Así que la última cosa a hacer es mostrar que un subespacio puede surgir de dos formas diferentes de la multiplicación y de convolución sólo en el "evidente", es decir, mediante la explotación de la asociatividad de pointwise de la multiplicación y de la convolución. Esto se ve factible, por una inducción argumento, pero no he probado a empujar a través.

Answer 3

Simplemente me sugieren para reformular la pregunta de una manera que, esperemos, evitar interpretaciones ambiguas: pregunta acerca de las identidades (en el álgebra universal sentido, como identitities (leyes) de los grupos, o polinomio identidades de los anillos) de la álgebra (de nuevo, en el álgebra universal sentido) definida en el conjunto de todos los mapas de la (fijo) abelian grupo G a R, sujeto a las dos operaciones definidas anteriormente. No puedo dejar de pensar que esto puede estar relacionado con la cuestión de la polinomio de identidades de grupo de los anillos, aunque esta relación es tal vez demasiado superficial: la convolución de la operación es similar a la multiplicación en el anillo de grupo (y, si G es finito, que son esencialmente el mismo). Por supuesto, si G es finito abelian, entonces el anillo de grupo, siendo el álgebra conmutativa, satisface un trivial polinomio de identidad. Así que debemos de traer de alguna manera la segunda operación . en la imagen. Tal vez las diversas generalizaciones de polinomio identidades consideradas en la literatura ("generalizado de identidades", de identidades con elementos fijos, identidades en los anillos con la involución, etc.) podría ser relevante aquí.

Answer 4

Tarde al hilo, pero quería mencionar rápidamente una identidad que se muestra para funciones separables. Aunque este es un primo cercano de su trivial identidad y apenas teóricamente profundo, que resulta ser muy útil en la práctica.

Tomemos $\mathrm{R}^2$ como un ejemplo. Si $f(x,y) = f_1(x)\ f_2(x)$ y $g(x,y) = g_1(x)\ g_2(y)$

$$f * g = (f_1\ f_2) * (g_1\ g_2) = (f_1 * g_1)\ (f_2 * g_2).$$

He abusado de la notación un poco para resaltar el parecido a la distributividad. Esta identidad encuentra su uso en un folclore truco de procesamiento de imagen que se describe a continuación:

http://www.stereopsis.com/shadowrect/

Editar por usuario anónimo: Esto no es cierto en general. Tomar $$f_1=f_2=g_1=g_2=\Pi$$ donde $\Pi$ denota la rectangular función, que es uno en el intervalo $[-1/2,1/2]$ y cero en otro lugar. Entonces: $$(f_1\ f_2)*(g_1\ g_2)=(\Pi^2)*(\Pi^2)=\Pi*\Pi=\Delta\neq \Delta^2=(\Pi*\Pi)^2=(f_1* g_1)(f_2*g_2).$$ Aquí, $\Delta$ es la función triangular.