Más pequeño abrir juego en $\mathbb{R}$ que es supset $\mathbb{Q}$

Question

Mi problema es que intuitivamente creo que el % todo $\mathbb{R}$es el supset solo abierto de $\mathbb{Q}$. Sin embargo esto no es cierto ya que puedo sacar por ejemplo $\pi$ un tengo un subconjunto abierto. Ahora tengo dos preguntas, primero cómo construir un supset abierto mínimo de $\mathbb{Q}$. ¿Y el otro es este sistema contable?

La razón por la llegar a esto es, que voy que el más pequeño supset abierto de cualquier subconjunto dado de $[0,1]$ tiene la misma medida de Lebesgue que el conjunto original.

Answer 1

Hay infinitamente muchas supsets de $\mathbb Q$ que son estrictos en los subconjuntos de a $\mathbb R$. Para construir uno de estos, fix $x\gt0$ y considerar la posibilidad de una enumeración $(q_n)_{n\geqslant1}$$\mathbb Q$. A continuación, $$ U_x=\bigcup_{n\geqslant1}(q_n-2^{-n}x,q_n+2^{-n}x) $$ es un subconjunto abierto de $\mathbb R$ tal que $\mathbb Q\subset U_x$. Además, la medida de Lebesgue de $U_x$ es en la mayoría de las $\sum\limits_n2^{-n}x=x$ que es finito, por lo tanto $U_x\ne\mathbb R$.

Además, la familia $(U_x)_{x\gt0}$ es no decreciente y la medida de Lebesgue de $U_x$ al menos $x/2$ por lo tanto $U_x\ne\mathbb Q$ por cada $x$ $U_x\ne U_y$ para infinidad de $x\ne y$.

Answer 2

Usted podría estar pensando a lo largo de las líneas de la clausura del operador: $\bar A$ es el menor conjunto cerrado que contiene a $A$. Aquí "más pequeño" es en el sentido de que el orden parcial de la inclusión. La razón como un conjunto más pequeño que existe es debido a la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a $A$ aún está cerrado, por lo que representa un mínimo elemento. Sin embargo, en general, no hay un mínimo de conjunto abierto que contiene un conjunto dado, debido a la intersección de todos los conjuntos que contienen no es en general abierto. Es por eso que no hay una versión abierta de la clausura. Del mismo modo, no hay mayor conjunto cerrado contenida en un determinado conjunto, aunque hay una mayor conjunto abierto (llamado el interior).

Answer 3

Cada conjunto abierto no vacío contiene un intervalo abierto y por lo tanto es incontable.