¿Cómo sabemos los exponenciales complejos "abarcan" el conjunto de todas las funciones reales?

Question

Así, podemos saber si $L^2 (0,2\pi)$ es el espacio de todos los $2\pi$ periódico de cuadrado integrable funciones, es decir, todas las funciones que tiene energía finita:

$$ \int_0^{2\pi} |f(x)|^2dx < \infty $$

A continuación, las señales pueden ser representados por la infinita suma de exponenciales complejas:

$$ f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty{ c_n e^{inx} } $$

Donde cada una de las $c_n$ se encuentran como sus "correlación" con ese complejo exponencial:

$$ c_n = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x) e^{-inx} dx $$

Esto funciona debido a que $ e^{inx} $ $n= \ldots, -1, 0, 1, \ldots $ es una base ortonormales de $L^2(0,2\pi)$, por lo que podemos representar cualquier función en $L^2(0,2\pi)$ como esta suma de exponenciales complejas.

Mi pregunta es, ¿cómo sabemos que las exponenciales complejas span $L^2$, que el espacio de $2\pi$ cuadrado integrable funciones?

Answer 1

Aquí hay una explicación (voy a pasar por alto muchos detalles técnicos, pero debe darle una idea al menos):

Corregir algunos $N$, y considerar el subconjunto $S_N$ $[0,2\pi]$ consiste de los puntos $0, 2\pi/N, 4\pi/N, \ldots, (N-1)2\pi/N$.

Sencillo de álgebra lineal muestra que una función en el conjunto finito $S_N$ puede ser escrito de forma única como combinación lineal de el exponenciales $e^{i n x}$$0 \leq n \leq N-1$.

Precisamente, si $\phi$ es una función en $S_N$, luego $\phi(x) = \sum_{n=0}^{N-1} a_n e^{2\pi i n/N},$ donde $$a_n = \dfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1} \phi(x) e^{-2\pi i n/N}.$$

Este es finita de Fourier de la teoría. Vamos a demostrar que la teoría de Fourier para las funciones en $[0,2\pi]$ es una especie de límite de lo finito de la teoría.

Supongamos ahora que una función continua $f$ es ortogonal a cada complejo exponencial, es decir, que todas las $c_n$ se desvanecen. Deje $\phi$ ser la restricción de $f$$S_N$. Desde $f$ es continua, si tomamos $N$ muy grande, entonces será casi constante entre los distintos puntos de $S_N$, y de forma que la suma de computación de la $a_n$ $\phi$ va a ser casi igual a la integral de la computación de la $c_n$$f$. Pero estos $c_n = 0$ por supuesto, por lo que el $a_n$ $\phi$ va a ser muy pequeño. Por lo tanto $f$ va a ser muy pequeña en valor en $S_N$.

Dejando $N \to \infty$, la aproximación será mejor y mejor, y así, desde la unión de la $S_N$ es denso en $[0,2\pi]$, vamos a concluir que en el hecho de $f$ se desvanece en $[0,2\pi]$.

Ahora una interpolación argumento, utilizando el hecho de que la continua functiosn son densos en $L^2$, se demuestra que, de hecho, cualquier $L^2$ función ortogonal a todos los $e^{i n x}$ debe desaparecer. Por lo tanto el lapso de la $e^{i n x}$ cero complemento ortogonal en $L^2$, y por lo tanto, esta envergadura debe ser denso en $L^2$, según se requiera.