$\mathbb Z_p$ rango $\leq r_1+r_2-1$ en Leopoldt ' conjetura de s

Question

Estoy tratando de entender Leopoldt la conjetura formulada en la sección 5.5 de Washington de "Introducción a la Cyclotomic Campos".

Para algebraica de campo de número de $K$ deje $E$ el valor global de las unidades, para cada uno de los prime $\mathfrak p$ $p$ deje $U_\mathfrak p$ de las unidades locales de la finalización de la $K_\mathfrak p$, y deje $U_{1,\mathfrak p}$ ser el director de las unidades, es decir, las unidades de $\varepsilon \equiv 1$ modulo $\mathfrak p$. Deje $$U = \prod_{\mathfrak p|p} U_\mathfrak p \quad \text{and} \quad U_1 = \prod_{\mathfrak p|p} U_{1,\mathfrak p}.$$ Las unidades de $E$ están incrustados en diagonal en $U$ y las unidades de $\varepsilon$, que se incorporan a $U_1$ son denotados por $E_1$. A continuación, $E_1$ $\mathbb Z$- módulo de rango $r_1+r_2-1$ (donde $r_1$ es el número de la real incrustaciones y $2r_2$ es el número de complejo de incrustaciones). Leopoldt la conjetura dice que $\overline{E_1}$ (el cierre de $E_1$ en la topología de $U_1$) $\mathbb Z_p$- módulo de rango $r_1+r_2-1$

Ahora en la prueba de Washington del teorema 5.31 (y el ejemplo de antes) que utiliza el hecho de que un $\mathbb Z$-base de $E_1$ modulo de torsión genera $\overline{E_1}$ modulo de torsión como una $\mathbb Z_p$-módulo. Esto parece plausible para mí, sin embargo no he sido capaz de demostrarlo.

Así que mi pregunta es: ¿por Qué un $\mathbb Z$-base de $E_1$ (módulo de torsión) generar $\overline{E_1}$ $\mathbb Z_p$ (módulo de torsión)?

Answer 1

Finalmente he descubierto por mí mismo. Deje $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r$ $\mathbb Z$- base de $E_1$ modulo de torsión, vamos a $\langle \varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r \rangle$ denotar el subgrupo generado de $U_1$ $\langle \varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r \rangle_{\mathbb Z_p}$ generado $\mathbb Z_p$-módulo de $U_1$. Queremos mostrar $$\overline{\langle \varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r \rangle} = \langle \varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r \rangle_{\mathbb Z_p}.$$ Las inclusiones $$\langle \varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r \rangle \subseteq \langle \varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r \rangle_{\mathbb Z_p},\\ \overline{\langle \varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r \rangle} \supseteq \langle \varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r \rangle_{\mathbb Z_p}$$ está claro por lo que es suficiente para mostrar que $\langle \varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r \rangle_{\mathbb Z_p}$ es cerrado. Pero $\langle \varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r \rangle_{\mathbb Z_p}$ es la imagen de la $\mathbb Z_p$-lineal mapa \begin{align*} \mathbb Z_p^r &\to U_1,\; \\ (a_1,\ldots,a_r) &\mapsto \varepsilon_1^{a_1}\cdots \varepsilon_r^{a_r}. \end{align*} Este mapa es continua, ya que para fijo $\varepsilon \in U_1$ $\mathbb Z_p$operación $\mathbb Z_p \to U_1, a \mapsto \varepsilon^a$ es continua. Desde $\mathbb Z_p^r$ es compacto de la imagen $\langle \varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r \rangle_{\mathbb Z_p}$ también es compacto, por lo tanto cerrado en $U_1$.