El cálculo de $\mathrm{Tr}[\log \Delta_F]$

Question

Estoy atascado con este problema durante bastante tiempo. Tengo un propagador en el impulso de la representación (a partir de esta pregunta), que se parece a $$\widetilde\Delta_F(p) = \frac{1}{(p^0)^2-\left(\left(n\pi/L\right)^2+m^2\right)+i\epsilon}$$

Me gustaría saber ¿cómo ir sobre el cálculo de $\mathrm{Tr}[\log \Delta_F]$ en general este tipo de difusores.El propagador en la posición de la representación,

$$\Delta_F(x-x') = \sum_{n=1}^\infty\int\frac{dp_0}{(2\pi)^2}e^{ip_0(x^0-x'^0)}e^{i\frac{n\pi}{L}(z-z')}\frac{1}{(p^0)^2-\left(\left((n\pi/L\right)^2+m^2\right)}$$ donde he sustituido la integral sobre la $p_z$, con una suma de más de $n$.

EDIT 1 : Con el propagador puedo escribir la Traza de a, $$\text{Tr}\log{\Delta} = - \sum_n \int dp_0 \log{\bigg(p_0^2 - \bigg(\frac{n\pi}{L}\bigg)^2 + m^2\bigg)}$$ pero esto es divergentes en ambos límites de $p_0$ supongo. No he introducido ninguna de corte demasiado. ¿Cómo puedo renormalise este, dado el contexto de este problema.

PS: lo Siento, soy un principiante con QFT y la ruta integral de los cálculos. Sería útil que podía llegar a ser muy explícito respuesta. Más precisamente, me gustaría saber ¿cuál es el significado de $\mathrm{Tr}[\log \Delta_F]$.

Answer 1

Desde que se desea extraer la fuerza de Casimir, acaba de tomar (menos) la derivada respecto a la L de su expresión en el impulso del espacio, el resultado es finito. Esto es en realidad un mecanismo general para la regularización de la teoría de toma de derivados de algunos de los parámetros que reducen el grado de divergencia. Usted puede integrar de nuevo después de haber llegado a la expresión finita.

Por cierto, no creo que su propagador es correcto, ya que sólo depende de la diferencia x−x', mientras que usted tiene dos límites que romper traducciones, así que debe ser una función separada de x y x' – TwoBs 16 horas