Esta podría ser una muy vaga y poco clara la pregunta, pero me explico. Cuando un objeto en reposo se mueve, o se mueve de un punto a a $A$ a punto de $B$, sabemos que el objeto debe de haber tenido algún velocidad (1ª derivada de la posición) durante ese viaje. También es cierto que el objeto tenía que han acelerado para ganar velocidad (2ª derivada)... si ampliamos este argumento, es lógico decir que el objeto debe tener experiencia tirón (3ª deriv.) para obtener la aceleración? Y así sucesivamente y así sucesivamente... 3º, 4º, 5º posición de derivados? O es mi lógica defectuosa en algún lugar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En la mecánica clásica la imagen, donde la posición de un objeto es una función con valores del parámetro real de tiempo, entonces sí, estás en lo correcto.
Si el objeto está en reposo sobre cualquier intervalo extendido, entonces la posición como función del tiempo durante que intervalo es, simplemente,$x(t) \equiv 0$, lo que significa que $x^{(k)}(t) = 0$ cualquier $k$-ésima derivada en cualquier momento $t$ en el intervalo.
Supongamos $x^{(n)}(t) = 0$ para todas las épocas $t$ en el intervalo de $[t_0, t_1]$, donde el objeto está en reposo en un intervalo alrededor de a $t_0$. A continuación, para $t \in [t_0, t_1]$ es la posición obedece $$ x^{(k-1)}(t) = x^{(k-1)}(t_0) + \int_{t_0}^t x^{(k)}(t') \, \mathrm{d}t' = x^{(k-1)}(t_0) = 0 $$ para todos los $k \in \{2, \ldots, n\}$. Esto implica $$ x(t_1) = x(t_0) + \int_{t_0}^{t_1} x'(t') \, \mathrm{d}t' = x(t_0). $$ El contrapositivo de esta conclusión nos dice que si $x(t_1) \neq x(t_0)$, todo el tiempo-los derivados de la posición que debe de haber sido nonvanishing al menos en algún lugar en ese intervalo.1
En el lado: no Hay más ser ponderada en relación a esta regresión infinita de derivados. Por ejemplo, usted puede preguntarse cómo nada en el resto podía moverse en absoluto en este sistema formal de la mecánica. Ciertamente, si $x$ fueron una analítica2 en función del tiempo que desapareció durante algún intervalo, entonces el objeto nunca podría mover. Afortunadamente, hay infinitamente diferenciable funciones que no son analíticas. Sin embargo, el aflojamiento de las restricciones sobre la "validez" de las trayectorias de esta manera hace que para algunos asuntos preocupantes sobre el determinismo de la mecánica Newtoniana, ilustradas por ejemplo Norton de la Cúpula.
1 La redacción de aquí podría ser mejorado si permiten discontinuidades y funciones delta, pero el mismo argumento es.
2 La palabra "analítica" ha tomado una multitud de significados diferentes en la física. Aquí me refiero a "converge a su serie de Taylor." Es decir, una función $f$ es analítica en un punto de $x_0$ si para todos los puntos de $x \neq x_0$ en un barrio de $x_0$, el de la serie $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} f^{(k)}(x_0) (x-x_0)^k $$ se define y converge a $f(x)$.
