Todo el mundo sabe que hay al menos tres funciones cuya derivada es la propia función, a saber $e^x, \ 0$ y $-e^{x}$ . ( ¿hay más?)
Estaba dibujando algunos polinomios y sus derivadas y noté que a veces era casi como la inversa. Esto me llevó a plantear esta pregunta: ¿existe una función cuya derivada sea la inversa de esa función?
Bueno, me imaginé que al menos se puede encontrar algún tipo de respuesta de la forma $a x^b$ .
Resolvamos esto:
$f(x) = ax^b, f'(x) = abx^{b-1}$ . Entonces $$f \circ f'(x) = a^{b+1}b^bx^{(b-1)b}=x=a^b b x^{(b-1)b}=f' \circ f (x).$$
Así, $b(b-1) = 1 \iff b^2-b-1=0 \iff b = \phi \vee 1-\phi,\ \phi = \frac{1+\sqrt 5}{2}$
También vemos que $ab^{b-1}=1$ porque ambos multiplicadores deben ser uno. Por lo tanto, obtenemos $a= \frac{1}{b^{b-1}}$ . Si $b=\phi$ obtenemos $a=\phi^{\phi-1}$ . Si $b=1-\phi, \ a=(1-\phi)^{\phi}$
Así, dos funciones que satisfacen la condición son $\phi^{\phi-1} x^\phi$ y $ (1-\phi)^{\phi}x^{1-\phi}$ .
Me gustaría saber si hay más funciones como estas, y si estas funciones tienen alguna propiedad "interesante", como la función exponencial, aparte de esta condición de que la inversa sea la derivada.
